Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

$\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$(17.10)

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число $ z$ в тригонометрической форме имеет вид $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

$\displaystyle z=re^{i{\varphi}}.$

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ .

        Пример 17.7   Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .

Решение. Находим модуль и аргумент числа:

$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=\frac{3\pi}4.$

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:

$\displaystyle z=\sqrt2e^{\frac{3\pi}4i}.$

        

        Пример 17.8   Комплексное число записано в показательной форме

$\displaystyle z=2e^{\frac{\pi}6i}.$

Найдите его алгебраическую форму.

Решение. По формуле Эйлера

$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}2+ i\frac12\right)=\sqrt3+i.$

Итак, алгебраическая форма числа: $ {z=\sqrt3+i}$ .         

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть $ {z=x+iy}$ . Тогда

$\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$

Например,

$\displaystyle e^{2+\frac{5\pi}6i}=e^2\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)= -e^2\frac{\sqrt3}2+\frac{e^2}2i.$

Заменим в формуле Эйлера $ {\varphi}$ на $ -{\varphi}$ . Получим:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi}).$

С учетом свойств тригонометрических функций имеем:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos{\varphi}-i\sin{\varphi}.$

Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:

$\displaystyle e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}=2\cos{\varphi}.$

Откуда

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}}2.$(17.11)

Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}-e^{-i{\varphi}}}{2i}.$(17.12)

С помощью формулы для косинуса вычислим, например, $ \cos(5i)$ :

$\displaystyle \cos(5i)=\frac{e^{i(5i)}+e^{-i(5i)}}2=\frac{e^{-5}+e^5}2 \approx 74.21.$

Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции $ \cos z$ и $ \sin z$ , определяемые с помощью формул (17.11) и (17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

$\displaystyle \cos{\varphi}=ch(i{\varphi}),\quad \sin{\varphi}=-i sh(i{\varphi})$ (17.13)

Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).

Отметим также, что формулы (17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.

Выберите новую разрядность для вашего звукового файла, используя раскрывающийся список Bit-depth. Вычисление площади
поверхности

 Совет

Если вы повысите разрядность вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был 8-битный звуковой файл и вы повысили его разрядность до 16 битов, он все равно будет звучать как 8-битный, поскольку именно с такой разрядностью он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением разрядности файла, — увеличится его разрешение, и дальнейшее редактирование и обработка этого файла не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 8-битный звуковой файл, не помешает повысить его разрядность. С другой стороны, если вы понизите разрядность звукового файла, это как раз понизит его качество, поэтому если вы решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 24-битный звуковой файл и вы хотите снизить его разрядность до 16 битов, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию 24-битной версии для последующего редактирования и обработки.

3. Выберите вариант из раскрывающегося списка Dither. Этот параметр позволяет определить, сколько дополнительного шума вы хотите наложить на сигнал, чтобы скрыть шум квантования (см. Замечание ниже), который возникает из-за преобразования разрядности. В случае повышения разрядности стоит выбрать для этого параметра значение None. Если же вы собираетесь понизить разрядность, вам придется поэкспериментировать с этим параметром, чтобы выяснить, какое его значение работает лучше. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

 Замечание 

Когда вы преобразуете аналоговый звуковой сигнал в цифровую форму, этот сигнал определяется с использованием конечного диапазона чисел. Чем ниже разрядность файла, тем меньшие числа выделяются для определения сигнала, что приводит к более высокому уровню шумов, В случае понижения разрядности этот процесс может привести к появлению так называемого шума квантования. Этот шум образуется из-за того, что числа, представляющие сигнал в файле с большей разрядностью, должны быть округлены до значений, соответствующих меньшей разрядности. Чтобы скрыть шум квантования, вы можете добавить в данные дополнительный шум. Может показаться странным, что для того чтобы понизить слышимые шумы, нужно добавить дополнительный шум, но он помогает смягчить, так сказать, "шероховатости" сигнала, характеризующие шум квантования.