Назад Асимптоты графика функции    
Наверх: Исследование функций и построение графиков
Вперед: Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Untitled Document

Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция $ f(x)$ называется возрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если для любых двух точек $ x_1,x_2\in(a;b)$ из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$; убывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)>f(x_2)$; невозрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$, и неубывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$.

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций


Очевидно, что функция $ f(x)$ возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция $ g(x)=-f(x)$; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций $ f(x)$ и $ g(x)=-f(x)$


        Теорема 7.2   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и $ {f'(x)>0}$ при всех $ x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$. Если же $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не убывает на $ (a;b)$.

Аналогично, если $ f'(x)<0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ убывает на $ (a;b)$, а если $ f'(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не возрастает на $ (a;b)$.

        Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев $ f'(x)>0$ и $ f'(x)\geqslant 0$. Пусть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in(a;b)$ и $ x_1,x_2\in(a;b)$, $ x_1<x_2$. Применим к отрезку $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений:

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$

где $ c\in(a;b)$. В правой части $ f'(c)>0$ и $ x_2-x_1>0$, так что $ f(x_2)-f(x_1)>0$, откуда $ f(x_1)<f(x_2)$, что означает возрастание функции.

Точно так же, если $ f'(x)\geqslant 0$, то получаем $ f(x_2)-f(x_1)\geqslant 0$, откуда $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$, что означает неубывание функции.     

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

        Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале $ (a;b)$, то $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$; если же функция не возрастает на $ (a;b)$, то $ f'(x)\leqslant 0$ при $ x\in(a;b)$.

        Доказательство.     Фиксируем точку $ x_0\in(a;b)$ и рассмотрим предел, который равен производной:

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

При достаточно малых $ h>0$ точка $ x_0+h$ попадёт в интервал $ (a;b)$, при этом $ x_0+h>x_0$, откуда $ f(x_0+h)\geqslant f(x_0)$. Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем $ f'(x_0)\geqslant 0$, что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.     

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$ не следует строгого неравенства $ f'(x)>0$ для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

        Пример 7.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси $ \mathbb{R}$: из $ x_1<x_2$ следует, что $ x_1^3<x_2^3$. Однако неверно, что $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$: действительно, производная $ f'(x)=3x^2$ обращается в 0 при $ x=0$.     

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство $ f'(x)\geqslant 0$.

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции $ f(x)$, надо решить относительно $ x$ неравенство $ f'(x)>0$, а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство $ f'(x)<0$.

        Пример 7.16   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\ln x$. Её производная такова:

$\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}= x(2\ln x+1).$

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

$\displaystyle x(2\ln x+1)>0.$

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции $ x>0$, так что нужно решать неравенство $ 2\ln x+1>0$. Отсюда $ x>e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$. Таким образом, функция $ f(x)$ возрастает на интервале $ (\dfrac{1}{\sqrt{e}};+\infty)$. Нетрудно видеть, что при $ x\in(0;\dfrac{1}{\sqrt{e}})$ выполняется обратное неравенство $ f'(x)<0$, так что на этом интервале функция убывает.     


Рис.7.17.График функции $ f(x)=x^2\ln x$


Если два интервала возрастания функции $ f(x)$ примыкают друг к другу, то есть имеют вид $ (a;b)$ и $ (b;c)$, и функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ b$, то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на $ (a;c)$. То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции


        Пример 7.17   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3e^x$. Её производная имеет вид

$\displaystyle f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$

Решая неравенство $ f'(x)>0$, получаем: $ x\in(-3;0)\cup(0;+\infty)$; при $ x=0$ функция, очевидно, непрерывна, так что $ f(x)$ возрастает на объединённом интервале, то есть при $ x\in(-3;+\infty)$. Решение неравенства $ f'(x)<0$ даёт только один интервал $ (-\infty;-3)$; на нём функция убывает.     

Рис.7.19.График функции $ f(x)=x^3e^x$


Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику $ y=f(x)$ (равный производной) положителен, то угол наклона касательной -- острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной -- тупой, и тогда функция убывает.

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции

Назад Асимптоты графика функции    
Наверх: Исследование функций и построение графиков
Вперед: Экстремум функции и необходимое условие экстремума
Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ кондиционеры ballu: кондиционеры ballu доступно - на сайте
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Все про беременность для Вас
Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры