Назад  Возрастание и убывание функции    
Наверх: Исследование функций и построение графиков
Вперед:Достаточные условия локального экстремума

Untitled Document

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение 7.4   Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$.

        Теорема 7.4   Если точка $ x_0$ -- это точка локального экстремума функции $ f(x)$, и существует производная в этой точке $ f'(x_0)$, то $ f'(x_0)=0$.

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция $ f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $ x_0$, то либо
1) $ f'(x_0)=0$, либо
2) производная $ f'(x_0)$ не существует.

Точка $ x_0$ называется критической точкой функции $ f(x)$, если $ f(x)$ непрерывна в этой точке и либо $ f'(x_0)=0$, либо $ f'(x_0)$ не существует. В первом случае (то есть при $ f'(x_0)=0$) точка $ x_0$ называется также стационарной точкой функции $ f(x)$.

Итак, локальный экстремум функции $ f(x)$ может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 7.18   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4+2x^2+5$. Её производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$ и равна $ f'(x)=4x^3+4x$. Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением $ 4x^3+4x=0$. Это уравнение можно записать в виде $ 4x(x^2+1)=0$; оно имеет единственный корень $ x=0$: это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2+1)^2+4$, легко увидеть, что в стационарной точке $ x=0$ функция имеет минимум, равный $ (0^2+1)^2+4=5$.     

Рис.7.21.График функции $ y=x^4+2x^2+5$


        Пример 7.19   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2+5$. Как и в предыдущем примере, производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$; она равна $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$. Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: $ -1;0;1$.

Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2-1)^2+4$, легко увидеть, что в точках $ x=\pm1$ функция имеет минимум, так как в этих точках выражение $ x^2-1$ обращается в 0, и

$\displaystyle f(x)=4+(x^2-1)^2\geqslant 4=f(\pm1).$

Если же мы запишем функцию в виде $ f(x)=5-x^2(4-x^2)$, то убедимся, что точка $ x=0$ -- точка локального максимума, поскольку при малых $ \vert x\vert$ выражение $ 4-x^2$ положительно, и

$\displaystyle f(x)=5-x^2(4-x^2)\leqslant 5=f(0).$

    

Рис.7.22.График функции $ y=x^4-2x^2+5$


        Пример 7.20   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Производная этой функции существует при всех $ x$, кроме $ x=0$: при $ x>0$ $ f(x)=x$ и $ f'(x)=1\ne0$; при $ x<0$ $ f(x)=-x$ и $ f'(x)=-1\ne0$. Значит, единственная критическая точка -- та, в которой производная не существует, то есть $ x=0$. В этой точке, как легко видеть, $ f(x)$ имеет минимум.     

        Пример 7.21   Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{\frac{1}{3}}.$

Заметим, что функция непрерывна при всех $ x\in\mathbb{R}$. Её производная равна

$\displaystyle f'(x)= \frac{1}{3}(x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot2x=\frac{2}{3}\vert x\vert^{-\frac{1}{3}}\mathop{\rm sign}\nolimits x\ne0$

при $ x\ne0$ и не существует при $ x=0$. Значит, единственная критическая точка функции -- это $ x=0$. Поскольку $ f(x)>0$ при $ x\ne0$ и $ f(0)=0$, то $ x=0$ -- точка минимума.     

Рис.7.23.График функции $ y=\sqrt[3]{x^2}$


Не следует думать, что любая критическая точка функции даёт либо локальный максимум, либо локальный минимум. В некоторых критических точках экстремума может не оказаться вовсе.

        Пример 7.22   Рассмотрим функцию $ f(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$. Её производная равна

$\displaystyle f'(x)=3(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^2\cdot\dfrac{1}{x^2+1},$

она существует при всех $ x\in\mathbb{R}$. Уравнение $ f'(x)=0$ имеет решение $ x=0$ -- это единственная критическая точка функции $ f$. Однако $ x=0$ не является точкой локального экстремума, поскольку $ f(x)<0$ при всех $ x<0$ и $ f(x)>0$ при всех $ x>0$.     

Рис.7.24.График функции $ y=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$


Пусть требуется отыскать максимальное и минимальное значения функции $ f(x)$, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$. Согласно сказанному выше, если точка экстремума (максимума либо минимума) -- это внутренняя точка отрезка, то эта точка обязана быть критической. Следовательно, точка экстремума $ f(x)$ на $ [a;b]$ -- это либо критическая точка, либо один из концов отрезка.

Отсюда следует такой способ поиска максимума и минимума функции на $ [a;b]$: надо найти список "подозрительных" точек, включив в него: а) концы отрезка, то есть точки $ a$ и $ b$; б) стационарные точки, то есть все решения уравнения $ f'(x)=0$; в) критические точки, не являющиеся стационарными, то есть те точки отрезка, в которых функция непрерывна, но производная $ f'(x)$ не существует. Как правило, в этот список "подозрительных" точек входит конечное число точек. Во всех этих точках можно вычислить значение функции; максимальное и минимальное значение функции на отрезке будут содержаться в этом наборе значений, и их можно будет легко отыскать, а заодно установить и те значения $ x$, при которых эти экстремальные значения достигаются.

        Пример 7.23   Найдём наибольшее и наименьшее значения функции

$\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-17$

на отрезке $ [-2;3]$.

Имеем: $ f'(x)=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)$. Производная существует при всех $ x$, так что все критические точки функции являются стационарными, а стационарные точки задаются уравнением $ x^2+4x-5=0$. Это квадратное уравнение имеет корни $ x_1=-5$ и $ x_2=1$; первый корень не попадает на расматриваемый отрезок $ [-2;3]$, а второй попадает. Поэтому список "подозрительных" точек таков: $ -2;-1;3$ (оба конца отрезка и стационарная точка).

Вычисляем значения функции во всех точках списка:

$\displaystyle f(-2)=29; f(-1)=3; f(3)=19.$

Поэтому

$\displaystyle \min_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-1)=3;\quad \max_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-2)=29.$

    
Назад  Возрастание и убывание функции    
Наверх: Исследование функций и построение графиков
Вперед:Достаточные условия локального экстремума

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры