Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$. Если функция $ f(x)$ не убывает в некоторой левой окрестности $ E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)$ точки $ x_0$ и не возрастает в некоторой её правой окрестности $ E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума.

Если же функция $ f(x)$ не возрастает в некоторой левой окрестности $ {E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)}$ и не убывает в некоторой правой окрестности $ {E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)}$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если $ f(x)$ не убывает в $ E_-$, то $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ x\in E_-$, поскольку из непрерывности $ f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$. Точно так же, $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ {x\in E_+}$. Выберем из чисел $ {\delta}_1$ и $ {\delta}_2$ наименьшее: $ {\delta}=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ и рассмотрим симметричную окрестность $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$. При $ x\in E$, очевидно, $ f(x)\leqslant f(x_0)$, то есть $ x_0$ -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить $ f_1(x)=-f(x)$ и заметить, что функция $ f_1$ не убывает в $ E_-$ и не возрастает в $ E_+$; локальный максимум функции $ f_1$ соответствует локальному минимуму функции $ f$.     

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке $ x_0$. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию $ f(x)$, которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке $ x_0$, однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+x^2\sin^2\frac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

График этой функции зажат между двумя параболами $ y=x^2$ и $ y=2x^2$ и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что $ f(x)$ не монотонна ни на каком интервале вида $ (-{\delta};0)$ или $ (0;{\delta})$. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех $ x\ne0$ $ f(x)\geqslant x^2>0$.

Заметим кстати, что производная этой функции равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x+2x\sin^2\frac{1}{x}-\sin\frac{2}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

Эта производная имеет в точке $ x=0$ разрыв второго рода.     

        Теорема 7.6   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$, и у этой функции существует производная $ f'(x)$ в некоторой проколотой окрестности $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$. Если при этом в левой окрестности $ (x_0-{\delta};x_0)$ имеет место неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, а в правой окрестности $ (x_0;x_0+{\delta})$ -- неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, а в правой окрестности -- неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка $ x_0$ не является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства $ f'(x)\geqslant 0$ следует неубывание функции $ f(x)$, а из неравенства $ f'(x)\leqslant 0$ -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.     

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами


Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная $ f'(x)$ меняет знак с $ +$ на $ -$ при переходе через критическую точку $ x_0$, то в этой точке -- локальный максимум функции $ f(x)$; если знак производной меняется с $ -$ на $ +$, то в точке $ x_0$ -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через $ x_0$ не изменяется, то локального экстремума в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке $ x_0$ (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7   Пусть $ x_0$ -- стационарная точка функции $ f(x)$, и в этой точке существует вторая производная $ f''(x_0)$, причём $ f''(x_0)\ne0$. Тогда при $ f''(x_0)<0$ точка $ x_0$ есть точка локального максимума, а при $ f''(x_0)>0$ -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку $ f''(x)=(f'(x))'$, то по определению производной

$\displaystyle f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}.$

Пусть $ f''(x_0)<0$. Тогда из существования предела следует, что для любого $ x\ne x_0$ из некоторой достаточно малой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$ точки $ x_0$ выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

$\displaystyle \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0$

при $ x\in E$. Поскольку, по предположению теоремы, $ x_0$ -- стационарная точка, то $ f'(x_0)=0$, откуда $ \dfrac{f'(x)}{x-x_0}<0$, то есть $ f'(x)$ имеет знак, противоположный знаку $ x-x_0$: $ f'(x)>0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ f'(x)<0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что $ x_0$ -- точка локального максимума.

Доказательство для случая $ f''(x_0)>0$ совершенно аналогично.     

        Пример 7.24   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; решая уравнение $ 4x^3-4x=0$, находим стационарные точки функции $ f(x)$: это $ x_1=-1;x_2=0;x_3=1$. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: $ {f''(x)=12x^2-4}$. Отсюда $ {f''(x_1)=f''(-1)=12-4=8>0}$, следовательно, в точке $ x_1=-1$ функция $ f(x)$ имеет локальный минимум; то же в точке $ x_3=1$, поскольку $ f''(1)$ также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно $ f(\pm1)=1^4-2\cdot1^2=-1$.

В точке $ x_2=0$ получаем $ {f''(0)=12\cdot0^2-4=-4<0}$, поэтому в точке 0 функция $ f(x)$ имеет локальный максимум. Значение $ f(x)$ в этой точке равно 0.     


Рис.7.26.Три локальных экстремума функции $ f(x)=x^4-2x^2$


        Замечание 7.5   В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке $ x_0$ в случае, когда $ f''(x_0)=0$. В этом случае в точке $ x_0$ может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.     

        Пример 7.25   Функция $ f(x)=x^3$ имеет единственную стационарную точку $ {x_0=0}$. Вторая производная $ f''(x)=6x$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ не имеет экстремума в точке 0.     

Рис.7.27.Функция $ f(x)=x^3$ не имеет экстремума в стационарной точке 0


        Пример 7.26   Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Вторая производная $ f''(x)=12x^2$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ имеет в точке 0 минимум.     

Рис.7.28.Функция $ f(x)=x^4$ имеет минимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


        Пример 7.27   Функция $ f(x)=-x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Её вторая производная $ f''(x)=-12x^2$ принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция $ f(x)$ имеет в этой точке максимум.     

Рис.7.29.Функция $ f(x)=-x^4$ имеет максимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


Для того, чтобы разобраться в поведении функции $ f(x)$ в такой стационарной точке $ x_0$, в которой $ f''(x_0)=0$, можно применить такую теорему:

        Теорема 7.8   Пусть функция $ f(x)$ имеет $ k$-ю производную в некоторой окрестности точки $ x_0$ и эта производная $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$. Предположим, что

$\displaystyle f'(x_0)=0,\;f''(x_0)=0,\;\dots,\;f^{(k-1)}(x_0)=0,\;f^{(k)}(x_0)\ne0.$

Тогда, если число $ k$ -- нечётное, то в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет локального экстремума; если же число $ k$ -- чётное, то при $ f^{(k)}(x_0)<0$ в точке $ x_0$ функция имеет локальный максимум, а при $ f^{(k)}(x_0)>0$ -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить $ f(x)$ по формуле Тейлора в точке $ x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k$

(где $ x_{{\theta}}$ лежит между $ x$ и $ x_0$), поскольку слагаемые со степенями бинома $ x-x_0$, меньшими $ k$, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f=\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k.$

Поскольку $ f^{(k)}(x_0)\ne0$ и $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, то в некоторой окрестности точки $ x_0$ она сохраняет тот же знак, что у числа $ f^{(k)}(x_0)\ne0$, в частности, знак числа $ \dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}$ при $ x$, близких к $ x_0$, -- тот же, что у числа $ f^{(k)}(x_0)$.

Мы видим, что при нечётном $ k$ приращение $ {\Delta}f$ меняет знак при переходе через точку $ x_0$, поскольку меняет знак множитель $ (x-x_0)^k$ в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке $ x_0$ нет.

При чётном $ k$ этот множитель положителен при всех $ x\ne x_0$, следовательно, приращение $ {\Delta}f$ (при малых $ x-x_0\ne0$) имеет тот же знак, что и $ f^{(k)}(x_0)$: $ {\Delta}f<0$ при $ f^{(k)}(x_0)<0$ (неравенство $ {\Delta}f<0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального максимума) и $ {\Delta}f>0$ при $ f^{(k)}(x_0)>0$ (неравенство $ {\Delta}f>0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального минимума).     

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке $ x_0$ обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет стационарную точку $ x_0=0$, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Однако очевидно, что $ f(x)>0$ при всех $ x\ne0$, так что $ x_0=0$ -- точка минимума функции $ f(x)$.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной $ k$-го порядка в точке $ x_0$, даже если эта производная существует при всех $ x$. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^4\left(2+\sin\frac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке $ x=0$. Производная этой функции существует при всех $ x$ и равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\left[4x\left(2+\sin\frac{1}{x... ...ac{1}{x}\right],&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.     

Работа с фрагментами тишины

 

Программа Sound Forge предоставляет несколько функций, позволяющих управлять фрагментами тишины в звуковых данных. Бывают случаи, когда из вашего файла желательно удалить тишину, например неудобные паузы между вокальными пассажами или репликами диалога. Напротив, иногда в данные бывает полезно добавить фрагменты тишины — к примеру, чтобы создать паузу между музыкальными фразами. Справиться с этими задачами вам помогут функции Auto Trim/Crop, Insert Silence и Mute.

Удаление фрагментов тишины

Функция Auto Trim/Crop автоматически удалит фрагменты тишины из звукового файла путем поиска в данных определенных характеристик, которые вы укажете. Чтобы обнаружить эти характеристики, функция Auto Trim/Crop использует цифровой шлюз сигнала. В зависимости от установленных вами параметров, шлюз сигнала открывается, когда функция Auto Trim/Crop обнаруживает часть данных, уровень сигнала (громкость) которой выше, чем тот, который вы указали. Эта часть данных расценивается как приемлемая и пропускается. Когда уровень сигнала падает ниже указанного вами, шлюз сигнала расценивает такую часть как конец секции (или начало фрагмента тишины) и закрывается. Затем функция Auto Trim/Crop ищет следующую секцию, имеющую достаточный уровень сигнала, и удаляет все данные между двумя секциями. Таким образом, обрабатывается вся выделенная вами область или весь файл.

Чтобы автоматически удалить фрагменты тишины, используя функцию Auto Trim/Crop, проделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле часть данных, из которой вы хотите удалить фрагменты тишины. Если вы хотите обработать файл полностью, то либо ничего не выделяйте, либо выделите весь файл, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Auto Trim/Crop, чтобы открыть диалоговое окно Auto Trim/Crop