Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Выпуклость функции

        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.

Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))$(7.4)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция $ f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при . Это означает, что

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\geqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0)$(7.5)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.     

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций


Легко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$.

        Пример 7.28   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Эта функция выпукла на любом интервале оси $ Ox$. Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики $ f(x)$ и $ \ell(x)$ на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что $ f(x)$ одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале $ (a,b)$, то $ a<0$ и $ b>0$, и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.     

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика $ y=\vert x\vert$


        Пример 7.29   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$; её график -- парабола $ y=x^2$.

Рис.7.32.Функция $ f(x)=x^2$ -- выпуклая


Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале $ (a;b)$. Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})=({\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0)^2= {\alpha}^2x_1^2+2{\alpha}(1-{\alpha})x_1x_0+(1-{\alpha})^2x_0^2\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant {\alpha}^2x_1^2+{\alpha}(1-{\alpha})(x_1^2+x_0^2)+(1-{\alpha})^2x_0^2= {\alpha}x_1^2+(1-{\alpha})x_0^2=\ell(x_{{\alpha}}).$   

Здесь мы использовали известное неравенство: $ 2x_1x_0\leqslant x_1^2+x_0^2$ при всех $ x_1,x_0\in\mathbb{R}$.18     

        Теорема 7.9   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (a;b)$ и $ x^*$ -- некоторая точка этого интервала. При всех $ x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция

$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$

Тогда функция $ f$ выпукла на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.

        Замечание 7.7   Функция $ t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка $ (x^*;f(x^*))$, а вторым концом -- переменная точка графика $ (x;f(x))$. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.

Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла


Заметим также, что функция $ t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:

$\displaystyle t_{y}(x)=t_x(y).$(7.6)

Действительно,

$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$   

    

        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$. Предположим, что $ x^*<x_1<x_2$ (случаи иного расположения точек $ x^*,x_1,x_2$ рассматриваются аналогично). Поскольку $ x_1\in(x^*;x_2)$, то $ x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором $ {\alpha}\in(0;1)$. Нетрудно видеть, что тогда $ {\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $ 1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$. Поэтому из выпуклости функции $ f(x)$ следует, что

$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant \dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$

Умножая на $ x_2-x^*>0$, получаем:

$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$

Теперь вычтем $ (x_2-x^*)f(x^*)$ из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:

$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$

Теперь разделим обе части неравенства на $ x_1-x^*>0$ и $ x_2-x^*>0$ и получим:

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$

то есть

$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$

Это означает, что функция $ t_{x^*}$ -- неубывающая.

Доказательство того, что из неубывания функции $ t_{x^*}$ следует выпуклость функции $ f(x)$, можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.     

        Замечание 7.8   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:

функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда при любом $ x^*\in(a;b)$ функция $ t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.     

Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

        Теорема 7.10   Пусть функция $ f(x)$ имеет на $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$.

        Доказательство.     Пусть $ f(x)$ -- выпуклая функция. Возьмём точки $ a',b',x_1,x_2$ на интервале $ (a;b)$ так, чтобы они следовали в таком порядке: $ a<a'<x_1<x_2<b'<b$. По предыдущей теореме, функции $ t_{x_1}$ и $ t_{x_2}$ не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:

$\displaystyle t_{a'}(x_1)=t_{x_1}(a')\leqslant t_{x_1}(x_2)=t_{x_2}(x_1)\leqslant t_{x_2}(b')= t_{b'}(x_2).$

В итоге получили, что $ t_{a'}(x_1)=t_{b'}(x_2)$, или

$\displaystyle \dfrac{f(a')-f(x_1)}{a'-x_1}\leqslant \dfrac{f(b')-f(x_2)}{b'-x_2}.$

Перейдем в левой части к пределу при $ a'\to x_1-$, а затем в правой части при $ b'\to x_2+$. Так как, по предположению, производная в точках $ x_1$ и $ x_2$ существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть $ {f'(x_1)\leqslant f'(x_2)}$. Ввиду того, что точки $ x_1$ и $ {x_2>x_1}$ можно было выбирать произвольно, это означает, что $ f'(x)$ не убывает на $ {(a;b)}$.

Пусть теперь производная $ f'(x)$ -- неубывающая функция. Фиксируем точку $ {x^*\in(a;b)}$ и найдём производную функции $ t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}$ при $ x\in(a;x^*)\cup(x^*;b)$. Она равна

$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)(x-x^*)-(f(x)-f(x^*))}{(x-x^*)^2}.$

По формуле конечных приращений мы можем представить $ f(x)-f(x^*)$ в виде

$\displaystyle f(x)-f(x^*)=f'(c)(x-x^*),$

где $ c$ -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x^*$. Заметим, что при этом знак разности $ x-c$ -- тот же, что у разности $ x-x^*$. Получаем, что

$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)-f'(c)}{x-x^*}.$

Так как $ f'$ -- неубывающая функция, то $ f'(x)-f'(c)\geqslant 0$ при $ x-c>0$ и, следовательно, при $ x-x^*>0$ и $ f'(x)-f'(c)\leqslant 0$ при $ x-c<0$ и, следовательно, при $ x-x^*<0$. В любом случае отношение неотрицательно, то есть $ t'_{x^*}(x)\geqslant 0$. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция $ f(x)$ выпукла.     

        Замечание 7.9   Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:

дифференцируемая функция $ f$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её производная $ f'(x)$ не возрастает.     

Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную $ f''(x)$, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.

        Теорема 7.11   Пусть на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$. Функция $ f$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и вогнута тогда и только тогда, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$.

        Доказательство.     Производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и не возрастает в на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$. Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.     

Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.

Рис.7.34.$ f''(x)\geqslant 0$ на интервалах выпуклости и $ f''(x)\leqslant 0$ на интервалах вогнутости


        Пример 7.30   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert^3$, то есть

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -x^3,&\mbox{ при }x<0. \end{array}\right.$

Для этой функции

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -3x^2,&\mbox{ при }x<0 \end{array}\right.$

(проверьте отдельно, что производная при $ x=0$ существует и равна 0) и

$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} 6x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -6x,&\mbox{ при }x<0, \end{array}\right.$

то есть $ f''(x)=6\vert x\vert$. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; отсюда следует, что функция $ f(x)$ выпукла на всей оси.     

Рис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси


        Пример 7.31   Рассмотрим функцию примера 7.24: $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; вторая производная $ f''(x)=12x^2-4$. Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство $ f''(x)\geqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\geqslant 0$. Решением является объединение лучей: $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\cup[\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$. Значит, на интервалах $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ и $ (\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$ функция $ f(x)$ выпукла.

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство $ f''(x)\leqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\leqslant 0$. Решением является отрезок $ [-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}]$. Значит, на интервале $ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ функция $ f(x)$ вогнута.     


Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции $ f(x)=x^4-2x^2$


Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.

        Теорема 7.12   Пусть $ f(x)$ -- выпуклая на $ (a;b)$ функция и $ x_0\in(a;b)$ -- точка локального минимума функции $ f$. Тогда $ \min\limits_{x\in(a;b)}f(x)=f(x_0).$

        Замечание 7.10   Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in(a;b)}f(x).$     

        Доказательство теоремы.     Пусть $ x_0$ и $ x_1$ -- две различные точки локального минимума функции $ f(x)$, причём $ x_0<x_1$ и $ f(x_0)>f(x_1)$ (случай $ f(x_0)<f(x_1)$ разбирается аналогично). Положим $ x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0$ и рассмотрим линейную функцию $ \ell(x)$, на графике которой лежит хорда, соединяющая точки $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$. Так как функция $ f(x)$ выпукла, то $ f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})$ при всех $ {\alpha}\in[0;1]$, то есть при всех $ x_{{\alpha}}\in[x_0;x_1]$. Это неравенство верно, в том числе, и при любом $ x=x_{{\alpha}}$ из некоторой правой окрестности точки $ x_0$, то есть при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})\sbs[x_0;x_1]$, $ 0<{\delta}\leqslant x_1-x_0$. Тем самым получаем для таких $ x$:

$\displaystyle f(x)\leqslant \ell(x)<f(x_0)=\ell(x_0).$

Однако это противоречит тому, что $ x_0$ -- точка локального минимума (из того, что $ x_0$ -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом $ {\delta}>0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$ имеет место неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$).

Значит, предположение о том, что $ f(x_0)>f(x_1)$, не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что $ f(x_0)<f(x_1)$. Следовательно, $ f(x_0)=f(x_1)$, то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция $ f(x)$ принимает одно и то же значение.     

Тем самым, если о функции $ f(x)$ известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума $ x_0$, то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: $ f_{\min}=f(x_0)$. Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.

        Замечание 7.11   Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:

если $ f$ -- вогнутая функция на интервале $ (a;b)$ и $ x_0,x_1\in(a;b)$ -- точки локального максимума, то

$\displaystyle f(x_0)=f(x_1)=\max_{x\in(a;b)}f(x)=f_{\max}.$

Для доказательства достаточно вспомнить, что $ g=-f$ -- выпуклая функция и что $ \min(-f)=-\max f$.     

        Замечание 7.12   Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие $ f''(x_0)>0$ достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке $ x_0$ функции $ f$. Действительно, из условия $ f''(x)>0$ следует, что функция $ f(x)$ выпукла, то есть её график $ y=f(x)$ "провисает вниз" в окрестности точки $ x_0$, в которой график имеет горизонтальную касательную.

Рис.7.37.Выпуклость функции в окрестности точки минимума


Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство $ f''(x_0)<0$ даёт достаточное условие локального максимума.

Рис.7.38.Вогнутость функции в окрестности точки максимума


    

Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции $ f(x)$ с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.

        Теорема 7.13   Пусть функция $ f(x)$ имеет на интервале $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда график $ y=f(x)$ лежит (при $ x\in(a;b)$) не ниже любой касательной $ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, проведённой при любом $ x_0\in(a;b)$, то есть выполняется неравенство

$\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

при всех $ x,x_0\in(a;b)$.

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной


        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:

$\displaystyle (f(x)-f(x_0))-f'(x_0)(x-x_0)=f'(c)(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)= (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0),$

где $ c$ лежит между $ x$ и $ x_0$. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $ f'(c)-f'(x_0)\geqslant 0$ при $ x-x_0>0$ и $ f'(c)-f'(x_0)\leqslant 0$ при $ x-x_0<0$. В любом случае получаем, что произведение $ (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)$ неотрицательно, откуда $ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\geqslant 0$. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.     

        Замечание 7.13   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:

дифференцируемая функция вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:

$\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

при всех $ x,x_0\in(a;b)$.     

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной


        Определение 7.6   Точкой перегиба функции $ f(x)$ называется такая точка $ x_0$, которая разделяет два интервала $ (a;x_0)$ и $ (x_0;b)$, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.     

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости


В случае, если вторая производная $ f''(x)$ непрерывна, в точке перегиба $ x_0$ непременно должно выполняться равенство $ f''(x_0)=0$, поскольку, согласно теореме 7.11, $ f''(x)$ должна менять знак при переходе через точку $ x_0$. Верно даже несколько более сильное утверждение:

        Теорема 7.14   Пусть $ x_0$ -- точка перегиба функции $ f(x)$, причём существует $ f''(x_0)$. Тогда $ f''(x_0)=0$.

        Доказательство.     Из существования $ f''(x_0)$ следует, что $ f'(x)$ существует при $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, окружающего точку $ x_0$. По предположению, при достаточно малом $ {\delta}>0$, на интервалах $ (x_0-{\delta};x_0)$ и $ (x_0;x_0+{\delta})$ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости $ f(x)$ выпукла на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и вогнута на $ (x_0;x_0+{\delta})$. Тогда функция $ f'(x)$ не убывает на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и не возрастает на $ (x_0;x_0+{\delta})$, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$ соответственно и замечая, что оба предела равны $ f''(x_0)$, получаем, что одновременно $ f''(x_0)\geqslant 0$ и $ f''(x_0)\leqslant 0$. Значит, $ f''(x_0)=0$, что и требовалось доказать.     

Заметим однако, что не любая точка $ x_0$, такая что $ f''(x_0)=0$, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция $ f''(x)$ может и не сменить знак, тогда перегиба в точке $ x_0$ нет.

        Пример 7.32   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4$; её вторая производная $ f''(x)$ равна $ 12x^2$ и равняется 0 при $ x=0$. Однако поскольку $ f''(x)=12x^2\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, функция $ f(x)$ выпукла на всей оси $ Ox$, согласно теореме 7.11. Точка 0 не разделяет здесь интервалы разного направления выпуклости.     

Рис.7.42.Точка 0 не разделяет интервалы разного направления выпуклости функции $ f(x)=x^4$


        Пример 7.33   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Тогда $ f''(x)=6x$ и $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''(0)=0$) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$.     

Рис.7.43.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$


        Пример 7.34   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{ll} x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -x^2,&\mbox{ при }x<0. \end{array}\right. $ Тогда $ f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -2x,&\mbox{ при }x<0, \end{array}\right. $ и $ f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2,&\mbox{ при }x>0;\\ -2,&\mbox{ при }x<0 \end{array}\right. $ (при $ x=0$ вторая производная не существует). Тогда $ f''(x)=2>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)=-2<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''$ не существует) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.44.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x$


        Пример 7.35   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sqrt[3]{x}$. Тогда $ f''(x)=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$ (проверьте, что это так!). При $ x=0$ вторая производная (как и первая) не существует. Однако снова $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.45.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=\sqrt[3]{x}$


        Упражнение 7.2   Проверьте, пользуясь определением точки перегиба, что если $ f(x)$ -- линейная функция ($ f(x)=kx+b$), то любая точка $ x$ есть её точка перегиба.

Проверьте, что любая точка $ x$ (в том числе $ x=0$) есть точка перегиба функции $ f(x)=\vert x\vert$.     

Итак, точки перегиба содержатся в списке тех точек $ x_0$, в которых либо $ f''(x_0)=0$, либо $ f''(x_0)$ не существует. Однако такая точка $ x_0$ может и не оказаться точкой перегиба; для выяснения нужно исследовать поведение функции слева и справа от "подозрительной" точки $ x_0$.

Определите новую частоту сэмплирования, используя параметр New sample rate (2.000 to 192.000 Hz).

Совет 

Если вы повысите частоту сэмплирования вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был звуковой файл с частотой сэмплирования 22 кГц, а вы повысили частоту до 44,1 кГц (чтобы записать этот файл на компакт-диск), он все равно будет звучать как 22-килогерцевый, поскольку именно с этой частотой он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением частоты сэмплирования файла — в результате этого увеличится разрешение файла и дальнейшие его редактирование и обработка не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 22-килогерцевый звуковой файл, не помешает повысить его частоту сэмплирования. С другой стороны, если вы понизите частоту сэмплирования звукового файла, это понизит его качество, поэтому, если вы все-таки решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 48-килогерцевый звуковой файл и вы хотите снизить его частоту сэмплирования до 44,1 кГц, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию версии с частотой 48 кГц для последующего редактирования и обработки.

3. Выберите значение параметра Interpolation accuracy (I to 4). Он позволяет определить точность процесса преобразования частоты сэмплирования. Низкое значение означает быструю, но менее точную обработку. Высокое значение подразумевает более медленную, но более точную обработку. Если длина вашего файла не очень велика, стоит выбрать значение, равное 4.

4. Если вы понижаете частоту сэмплирования, обязательно установите флажок Apply an anti-alias filter during resample. Это исключает возможность преобразования высокочастотных данных на входе в шумы на выходе, т. е. при применении более низкой частоты сэмплирования.

5. Если вы хотите, не внося изменения в данные, просто изменить скорость воспроизведения, установите флажок Set the sample rate only (do not re-sample). Использование этой функции повлечет за собой также изменение высоты тона. Ее стоит использовать, если кто-нибудь дал вам файл с неправильной скоростью воспроизведения.

6. Нажмите на кнопку Preview, чтобы услышать, как звучит файл, до того, как программа Sound Forge произведет в нем фактические изменения.

7. Нажмите на кнопку ОК.

Частота сэмплирования вашего файла будет изменена в соответствии с заданными значениями параметров.

  Совет 

Когда вы понижаете разрядность или частоту сэмплирования, вы теряете высокочастотные данные в вашем файле. Это может привести к тому, что звук станет тусклым. Чтобы не допустить этого, попробуйте обработать файл с помощью функции Smooth/Enhance программы Sound Forge. Выделите часть данных, которую вы хотите обработать, и выберите команду меню Process -> Smooth/Enhance, чтобы открыть диалоговое окно Smooth/Enhance. Затем переместите ползунок параметра Operation. Вам придется поэкспериментировать, чтобы найти подходящее значение. Нажмите на кнопку Preview, чтобы услышать, как звучит файл, до того, как программа Sound Forge произведет в нем фактические изменения. Если вы удовлетворены услышанным, нажмите на кнопку ОК.

 

>