Назад Примеры исследования функций и построения графиков
Наверх: Исследование функций и построение графиков
Вперед:Кривизна плоской кривой

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Упражнения и задачи

        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$

Подсказка:

Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.

Решение:

Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$

Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:

$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$

Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:

$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$

Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}= \dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$

откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.

При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.

Ответ:

 

$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$

вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     

        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$

б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.

Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     

        Упражнение 7.5   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$

Подсказка:

Воспользуйтесь общими формулами для $ k$ и $ b$ в уравнении асимптоты $ y=kx+b$. Пределы при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ здесь можно искать заодно.

Решение:

Найдём $ k$ и $ b$:

$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x(x+3)}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{3-0+0}{1+0}=3;$

$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}-3x]= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(3x^2-2x+1)-3x(x+3)}{x+3}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11x+1}{x+3}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-11.$   

Итак, прямая $ y=3x-11$ служит наклонной асимптотой графика $ y=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$

Ответ: наклонная асимптота при $ x\to\pm\infty$ имеет уравнение $ y=3x-11$.     

        Упражнение 7.6   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{3x-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$

Ответы: а) $ y=-x+1$ при $ x\to\pm\infty$; б) $ y=\frac{1}{3}x+\frac{16}{9}$ при $ x\to\pm\infty$; в) $ y=-1$ при $ x\to-\infty$ и $ y=1$ при $ x\to+\infty$.     

        Упражнение 7.7   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $ {f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2+4}}$ на отрезке $ [-1;4]$.

Подсказка:

Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой -- наименьшее значение.

Решение:

Поскольку знаменатель дроби $ f(x)$ положителен при всех $ x$, функция непрерывна на всей оси $ Ox$. Поэтому все её критические точки -- стационарные. Найдём производную:

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x^2+4)-2x(x^2-3)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{14x}{(x^2+4)^2}.$

Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке $ x=0$; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке $ [-1;4]$.

Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:

$\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{5}=-0.2; f(0)=-\frac{3}{4}=-0.75; f(4)=\frac{13}{20}=0.65.$

Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:

Ответ:

 

$\displaystyle f_{\max}=\max_{x\in[-1;4]}f(x)=f(4)=0.65; f_{\min}=\min_{x\in[-1;4]}f(x)=f(0)=-0.75.$

    

        Упражнение 7.8   Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:

а) $ f(x)=x^4-4x^3+4x^2-5$ на отрезке $ [-1;3]$;

б) $ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ на отрезке $ [1;e]$;

в) $ f(x)=\cos x+x\sin x$ на отрезке $ [-\pi;\pi]$.

Ответы: а) $ f_{\max}=f(-1)=f(3)=4; f_{\min}=f(0)=f(2)=-5$;

б) $ f_{\max}=f(\sqrt{e})=\dfrac{1}{2e}; f_{\min}=f(1)=0$;

в) $ f_{\max}=f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}; f_{\min}=f(-\pi)=f(\pi)=-1$.     

        Упражнение 7.9   Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции $ f(x)=x^3-6x^2+5$.

Подсказка:

Найдите производную и решите неравенства $ f'(x)>0$ и $ f'(x)<0$.

Решение:

Производная равна $ f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$. Неравенство $ 3x(x-4)>0$ имеет решение $ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$; на этих двух интервалах $ f(x)$ возрастает. Неравенство $ 3x(x-4)<0$ имеет решение $ x\in(0;4)$; на этом интервале $ f(x)$ убывает. Следовательно, точка $ x=0$ -- точка локального максимума, а точка $ x=4$ -- точка локального минимума.

Ответ:

Интервалы возрастания: $ (-\infty;0)$ и $ (4;+\infty)$; интервал убывания: $ (0;4)$; точка локального максимума: $ x=0$, точка локального минимума: $ x=4$.     

        Упражнение 7.10   Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:

а) $ f(x)=x^4-8x^2+1$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+2}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x}{\ln x+1}$.

Ответы: а) интервалы возрастания: $ (-2;0)$ и $ (2;+\infty)$; интервалы убывания: $ (-\infty;-2)$ и $ (0;2)$; точка локального максимума $ x=0$; точки локального минимума $ x=\pm2$;

б) интервалы возрастания: $ (-\infty;-2-\sqrt{5})$ и $ (-2+\sqrt{5};+\infty)$; интервалы убывания: $ {(-2-\sqrt{5};-2)}$ и $ {(-2;-2+\sqrt{5})}$; точка локального максимума $ x=-2-\sqrt{5}$; точка локального минимума $ x=-2+\sqrt{5}$;

в) интервал возрастания: $ (1;+\infty)$; интервалы убывания: $ (0;\frac{1}{e})$ и $ (\frac{1}{e};1)$; точка локального минимума $ x=1$; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.11   Найдите стационарные точки функции

$\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

и определите наличие в них локального экстремума.

Подсказка:

Стационарные точки задаются уравнением $ f'(x)=0$. Если вторая производная в стационарной точке положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то точка локального максимума.

Решение:

Найдём производную: $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; стационарные точки задаются уравнением $ 4x(x^2-1)=0$, то есть это точки $ x=0$ и $ x=\pm1$. Вторая производная равна $ f''(x)=12x^2-4$. Её значение в стационарных точках: $ f''(0)=-4<0$; $ f''(\pm1)=8>0$. Следовательно, в точке $ x=0$ -- локальный максимум, а в точках $ x=1$ и $ x=-1$ -- локальный минимум.

Ответ:

Имеется три стационарные точки: $ -1$, 0 и 1; $ -1$ и 1 -- точки локального минимума, а 0 -- точка локального максимума.     

        Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:

а) $ f(x)=x^3-4x+2$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;

в) $ f(x)=x^3\ln x$.

Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;

б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;

в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции

$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$

Подсказка:

Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.

Решение:

Найдём вторую производную:

$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$

Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.

В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.

Ответ:

Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     

        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:

а) $ f(x)=x^6-3x^4$;

б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.

б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.

в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     

        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):

а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;

б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;

в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Ответы: а) Функция нечётная;

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$

вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$


б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$

Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$


в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$


    

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Отличный портрет дмитрия медведева Доставка. Розница, опт.
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры