Назад Примеры исследования функций и построения графиков
Наверх: Исследование функций и построение графиков
Вперед:Кривизна плоской кривой

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Упражнения и задачи

        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$

Подсказка:

Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.

Решение:

Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$

Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:

$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$

Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:

$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$

Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}= \dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$

откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.

При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.

Ответ:

 

$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$

вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     

        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$

б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.

Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     

        Упражнение 7.5   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции

$\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$

Подсказка:

Воспользуйтесь общими формулами для $ k$ и $ b$ в уравнении асимптоты $ y=kx+b$. Пределы при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ здесь можно искать заодно.

Решение:

Найдём $ k$ и $ b$:

$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x(x+3)}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{3-0+0}{1+0}=3;$

$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}-3x]= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(3x^2-2x+1)-3x(x+3)}{x+3}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11x+1}{x+3}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-11.$   

Итак, прямая $ y=3x-11$ служит наклонной асимптотой графика $ y=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$

Ответ: наклонная асимптота при $ x\to\pm\infty$ имеет уравнение $ y=3x-11$.     

        Упражнение 7.6   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций:

а) $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{3x-1}$;

в) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$

Ответы: а) $ y=-x+1$ при $ x\to\pm\infty$; б) $ y=\frac{1}{3}x+\frac{16}{9}$ при $ x\to\pm\infty$; в) $ y=-1$ при $ x\to-\infty$ и $ y=1$ при $ x\to+\infty$.     

        Упражнение 7.7   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $ {f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2+4}}$ на отрезке $ [-1;4]$.

Подсказка:

Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой -- наименьшее значение.

Решение:

Поскольку знаменатель дроби $ f(x)$ положителен при всех $ x$, функция непрерывна на всей оси $ Ox$. Поэтому все её критические точки -- стационарные. Найдём производную:

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x^2+4)-2x(x^2-3)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{14x}{(x^2+4)^2}.$

Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке $ x=0$; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке $ [-1;4]$.

Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:

$\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{5}=-0.2; f(0)=-\frac{3}{4}=-0.75; f(4)=\frac{13}{20}=0.65.$

Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:

Ответ:

 

$\displaystyle f_{\max}=\max_{x\in[-1;4]}f(x)=f(4)=0.65; f_{\min}=\min_{x\in[-1;4]}f(x)=f(0)=-0.75.$

    

        Упражнение 7.8   Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:

а) $ f(x)=x^4-4x^3+4x^2-5$ на отрезке $ [-1;3]$;

б) $ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ на отрезке $ [1;e]$;

в) $ f(x)=\cos x+x\sin x$ на отрезке $ [-\pi;\pi]$.

Ответы: а) $ f_{\max}=f(-1)=f(3)=4; f_{\min}=f(0)=f(2)=-5$;

б) $ f_{\max}=f(\sqrt{e})=\dfrac{1}{2e}; f_{\min}=f(1)=0$;

в) $ f_{\max}=f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}; f_{\min}=f(-\pi)=f(\pi)=-1$.     

        Упражнение 7.9   Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции $ f(x)=x^3-6x^2+5$.

Подсказка:

Найдите производную и решите неравенства $ f'(x)>0$ и $ f'(x)<0$.

Решение:

Производная равна $ f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$. Неравенство $ 3x(x-4)>0$ имеет решение $ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$; на этих двух интервалах $ f(x)$ возрастает. Неравенство $ 3x(x-4)<0$ имеет решение $ x\in(0;4)$; на этом интервале $ f(x)$ убывает. Следовательно, точка $ x=0$ -- точка локального максимума, а точка $ x=4$ -- точка локального минимума.

Ответ:

Интервалы возрастания: $ (-\infty;0)$ и $ (4;+\infty)$; интервал убывания: $ (0;4)$; точка локального максимума: $ x=0$, точка локального минимума: $ x=4$.     

        Упражнение 7.10   Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:

а) $ f(x)=x^4-8x^2+1$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+2}$;

в) $ f(x)=\dfrac{x}{\ln x+1}$.

Ответы: а) интервалы возрастания: $ (-2;0)$ и $ (2;+\infty)$; интервалы убывания: $ (-\infty;-2)$ и $ (0;2)$; точка локального максимума $ x=0$; точки локального минимума $ x=\pm2$;

б) интервалы возрастания: $ (-\infty;-2-\sqrt{5})$ и $ (-2+\sqrt{5};+\infty)$; интервалы убывания: $ {(-2-\sqrt{5};-2)}$ и $ {(-2;-2+\sqrt{5})}$; точка локального максимума $ x=-2-\sqrt{5}$; точка локального минимума $ x=-2+\sqrt{5}$;

в) интервал возрастания: $ (1;+\infty)$; интервалы убывания: $ (0;\frac{1}{e})$ и $ (\frac{1}{e};1)$; точка локального минимума $ x=1$; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.11   Найдите стационарные точки функции

$\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

и определите наличие в них локального экстремума.

Подсказка:

Стационарные точки задаются уравнением $ f'(x)=0$. Если вторая производная в стационарной точке положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то точка локального максимума.

Решение:

Найдём производную: $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; стационарные точки задаются уравнением $ 4x(x^2-1)=0$, то есть это точки $ x=0$ и $ x=\pm1$. Вторая производная равна $ f''(x)=12x^2-4$. Её значение в стационарных точках: $ f''(0)=-4<0$; $ f''(\pm1)=8>0$. Следовательно, в точке $ x=0$ -- локальный максимум, а в точках $ x=1$ и $ x=-1$ -- локальный минимум.

Ответ:

Имеется три стационарные точки: $ -1$, 0 и 1; $ -1$ и 1 -- точки локального минимума, а 0 -- точка локального максимума.     

        Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:

а) $ f(x)=x^3-4x+2$;

б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;

в) $ f(x)=x^3\ln x$.

Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;

б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;

в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     

        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции

$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$

Подсказка:

Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.

Решение:

Найдём вторую производную:

$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$

Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.

В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.

Ответ:

Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     

        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:

а) $ f(x)=x^6-3x^4$;

б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;

в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.

б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.

в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     

        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):

а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;

б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;

в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Ответы: а) Функция нечётная;

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$

вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$


б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$

Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$


в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.

Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$


    

Выберите новую разрядность для вашего звукового файла, используя раскрывающийся список Bit-depth.

 Совет

Если вы повысите разрядность вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был 8-битный звуковой файл и вы повысили его разрядность до 16 битов, он все равно будет звучать как 8-битный, поскольку именно с такой разрядностью он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением разрядности файла, — увеличится его разрешение, и дальнейшее редактирование и обработка этого файла не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 8-битный звуковой файл, не помешает повысить его разрядность. С другой стороны, если вы понизите разрядность звукового файла, это как раз понизит его качество, поэтому если вы решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 24-битный звуковой файл и вы хотите снизить его разрядность до 16 битов, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию 24-битной версии для последующего редактирования и обработки.

3. Выберите вариант из раскрывающегося списка Dither. Этот параметр позволяет определить, сколько дополнительного шума вы хотите наложить на сигнал, чтобы скрыть шум квантования (см. Замечание ниже), который возникает из-за преобразования разрядности. В случае повышения разрядности стоит выбрать для этого параметра значение None. Если же вы собираетесь понизить разрядность, вам придется поэкспериментировать с этим параметром, чтобы выяснить, какое его значение работает лучше.

 Замечание 

Когда вы преобразуете аналоговый звуковой сигнал в цифровую форму, этот сигнал определяется с использованием конечного диапазона чисел. Чем ниже разрядность файла, тем меньшие числа выделяются для определения сигнала, что приводит к более высокому уровню шумов, В случае понижения разрядности этот процесс может привести к появлению так называемого шума квантования. Этот шум образуется из-за того, что числа, представляющие сигнал в файле с большей разрядностью, должны быть округлены до значений, соответствующих меньшей разрядности. Чтобы скрыть шум квантования, вы можете добавить в данные дополнительный шум. Может показаться странным, что для того чтобы понизить слышимые шумы, нужно добавить дополнительный шум, но он помогает смягчить, так сказать, "шероховатости" сигнала, характеризующие шум квантования.

4. Выберите значение параметра Noise shaping. Он позволяет переместить возможные шумы в область более высоких частот, которые менее доступны для человеческого слуха. Вам придется поэкспериментировать с этим параметром, чтобы найти наиболее подходящее для вашего файла значение.

Совет

Если частота сэмплирования вашего файла ниже 44 100 Гц, следует выбрать для параметра Noise shaping значение Off. Эта необходимость объясняется тем, что файлы с низкими частотами сэмплирования также характеризуются более низким частотным диапазоном. Использование параметра Noise shaping для подобных файлов может привести к увеличению уровня шума.