Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Кривизна графика функции

        Определение 8.1   Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.

Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$

где $ {\Delta}{\alpha}={\alpha}(x)-{\alpha}(x_0)$ -- угол поворота касательной при переходе точки касания из $ M_0(x_0;f(x_0))$ в $ M(x;f(x))$ и $ {\Delta}l$ -- длина части линии 21 $ L$ между точками $ M_0$ и $ M$.     

Смысл предела, определяющего кривизну, -- это скорость поворота касательной в точке $ M_0$, в расчёте на единицу длины дуги. Приложения определенного интеграла Математика вычисление интеграла

Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки $ M_0$ в точку $ M$


        Теорема 8.1   Пусть в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x_0)$. Тогда кривизна линии $ L=\{y=f(x)\}$ при $ x=x_0$ равна

$\displaystyle k(x_0)=\dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

        Доказательство.     Пусть $ x=x_0+h$ -- точка, близкая к $ x_0$ (будем считать для наглядности, что $ h>0$). По геометрическому смыслу производной, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}(x)=f'(x)$, откуда $ {\alpha}(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x)$. При малых $ h$ дуга $ M_0M$ весьма близка к хорде $ M_0M$, и интуитивно ясно, что для гладкой кривой $ L$ предел отношения длины дуги $ {\Delta}l$ к длине хорды $ \vert M_0M\vert$ равен 1, то есть эти две бесконечно малых при $ h\to0$ величины эквивалентны22. Хорда имеет длину $ \vert M_0M\vert=\sqrt{({\Delta}x)^2+({\Delta}y)^2}$, где $ {\Delta}x=h$ и $ {\Delta}y=f(x)-f(x_0)$ -- приращения координат при переходе от точки $ M_0$ к точке $ M$. Рассмотрим предел $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}.$ Имеем, очевидно,

$\displaystyle \dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\dfrac{\sqrt{h^2+(f(x_0+h)-f(x_0))^2}}{h}= \sqrt{1+\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)^2},$

откуда

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Поскольку $ {\Delta}l\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{h\to0}}\vert M_0M\vert$, то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}l}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Теперь преобразуем отношение $ \dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}$ к виду $ \dfrac{\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{h}}{\dfrac{{\Delta}l}{h}}$. Имеем тогда

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\... ...ght\vert= \left\vert\dfrac{{\alpha}'(x_0)}{\sqrt{1+(f'(x_0))^2}}\right\vert. $

Осталось вычислить производную, стоящую в числителе:

$\displaystyle {\alpha}'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x))'=\dfrac{f''(x)}{1+(f'(x))^2}.$

Это приводит нас к доказываемой формуле

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\dfrac{\dfrac{f''(x_0)}{1+(f'(x_0))^2}} {\sqrt{... ...))^2}}\right\vert= \dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

        Пример 8.1   Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$. Поскольку $ y'=2x$ и $ y''=2$, имеем

$\displaystyle k(x)=\dfrac{2}{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$

Заметим, что кривизна параболы убывает при росте $ \vert x\vert$ и принимает максимальное значение 2 при $ x=0$, то есть в вершине параболы.     

Выберите новую разрядность для вашего звукового файла, используя раскрывающийся список Bit-depth. Вычисление площади
поверхности

 Совет

Если вы повысите разрядность вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был 8-битный звуковой файл и вы повысили его разрядность до 16 битов, он все равно будет звучать как 8-битный, поскольку именно с такой разрядностью он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением разрядности файла, — увеличится его разрешение, и дальнейшее редактирование и обработка этого файла не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 8-битный звуковой файл, не помешает повысить его разрядность. С другой стороны, если вы понизите разрядность звукового файла, это как раз понизит его качество, поэтому если вы решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 24-битный звуковой файл и вы хотите снизить его разрядность до 16 битов, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию 24-битной версии для последующего редактирования и обработки.

3. Выберите вариант из раскрывающегося списка Dither. Этот параметр позволяет определить, сколько дополнительного шума вы хотите наложить на сигнал, чтобы скрыть шум квантования (см. Замечание ниже), который возникает из-за преобразования разрядности. В случае повышения разрядности стоит выбрать для этого параметра значение None. Если же вы собираетесь понизить разрядность, вам придется поэкспериментировать с этим параметром, чтобы выяснить, какое его значение работает лучше. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

 Замечание 

Когда вы преобразуете аналоговый звуковой сигнал в цифровую форму, этот сигнал определяется с использованием конечного диапазона чисел. Чем ниже разрядность файла, тем меньшие числа выделяются для определения сигнала, что приводит к более высокому уровню шумов, В случае понижения разрядности этот процесс может привести к появлению так называемого шума квантования. Этот шум образуется из-за того, что числа, представляющие сигнал в файле с большей разрядностью, должны быть округлены до значений, соответствующих меньшей разрядности. Чтобы скрыть шум квантования, вы можете добавить в данные дополнительный шум. Может показаться странным, что для того чтобы понизить слышимые шумы, нужно добавить дополнительный шум, но он помогает смягчить, так сказать, "шероховатости" сигнала, характеризующие шум квантования.