Untitled Document

 

Вперед: Наверх: Назад:

Вершины кривых

По аналогии с параболой мы можем дать такое определение:

        Определение 8.2   Назовём вершиной кривой $ y=f(x)$ любую точку этой кривой, в которой кривизна $ k(x)$ имеет локальный экстремум.     

В соответствии с этим определением вершина параболы $ y=x^2$ является вершиной линии $ y=x^2$ в новом, обобщённом, смысле.

        Пример 8.2   Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$. Её верхняя половина (при $ {y\geqslant 0}$) -- это график функции $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ на отрезке $ [-R;R]$. Возьмём точку $ {x\in(-R;R)}$ и найдём кривизну окружности при этом $ x$. Имеем:

$\displaystyle y'=-\dfrac{x}{(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}}},$

$\displaystyle y''=-\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}},$

откуда

$\displaystyle k(x)=\dfrac{\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}} {\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}= \dfrac{R^2}{R^3}=\dfrac{1}{R}.$

Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности23.     

        Пример 8.3   Рассмотрим прямую $ y=kx+b$. Поскольку $ y''=0$, то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой -- это её вершины.     

Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой $ y=f(x)$, то эта точка является вершиной кривой. Поскольку $ k(x)=\dfrac{\vert f''(x)\vert}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}},$ это может случиться лишь при $ f''(x)=0$, в частности, во всех точках перегиба функции $ f(x)$ (тех, где вторая производная существует).

        Пример 8.4   Рассмотрим параболу четвёртой степени $ y=x^4$. Поскольку вторая производная $ y''=12x^2$ обращается в 0 при $ x=0$, то точка $ O(0;0)$ служит одной из вершин этой параболы: в ней кривизна принимает минимальное значение 0.     

Рис.8.2.Парабола $ y=x^4$ имеет три вершины


        Упражнение 8.1   Найдите оставшиеся две вершины параболы четвёртой степени, в которых кривизна принимает максимальное значение.

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

        Пример 8.5   Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$). Поскольку $ y'=-\dfrac{a}{x^2}$ и $ y''=\dfrac{2a}{x^3}$, имеем

$\displaystyle k(x)= \left\vert\dfrac{\dfrac{2a}{x^3}}{\left(1+\dfrac{a^2}{x^4}... ...\frac{3}{2}}} \right\vert= \dfrac{2a\vert x\vert^3}{(x^4+a^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

        Пример 8.6   Найдём точку локального максимума кривизны гиперболы и покажем, что вершина гиперболы как кривой совпадает с её вершиной, понимаемой как пересечение гиперболы с её осью симметрии $ y=x$.

Рассмотрим часть гиперболы, лежащую при $ x>0$ (вторая половина -- симметрична рассматриваемой). Поскольку $ z=t^{\frac{2}{3}}$ -- возрастающая при $ t\geqslant 0$ функция, точки экстремума функций $ k(x)$ и

$\displaystyle f(x)=(k(x))^{\frac{2}{3}}=(2a)^{\frac{2}{3}}\dfrac{x^2}{x^4+a^2}$

совпадают. Ввиду того, что функция $ t=x^2$ также возрастает при $ x\geqslant 0$, достаточно сделать замену $ x^2=t$ и перейти к нахождению экстремума функции

$\displaystyle g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2},$

график которой при $ t\geqslant 0$ имеет такой вид:

Рис.8.3.График функции $ g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2}$


Точка максимума $ t_0$ ищется из условия $ g'(t_0)=0$; легко подсчитать, что

$\displaystyle g'(t)=\dfrac{a^2-t^2}{(t^2+a^2)^2},$

откуда $ t_0=a$ и $ x_0=\sqrt{a}$ -- абсцисса вершины гиперболы как кривой $ y=\dfrac{a}{x}$.

С другой стороны, пересечение гиперболы с прямой $ y=x$ находим из уравнения

$\displaystyle \dfrac{a}{x}=x,$

откуда также получаем, что вершина гиперболы имеет абсциссу $ x_0=\sqrt{a}$.

Отметим, что кривизна гиперболы в её вершине равна

$\displaystyle k_{\max}=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.$

    

Рис.8.4.Гипербола и её две симметричных вершины


        Упражнение 8.2   Эллипс -- это кривая, которая в некоторой декартовой системе координат $ xOy$ на плоскости задаётся уравнением

$\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа и $ a\ne b$.

Покажите, что четыре точки пересечения эллипса с осями координат являются его вершинами, причём в двух вершинах кривизна принимает наибольшее значение, а в двух других -- наименьшее. Для этого рассмотрите, как из данного уравнения выражаются зависимости $ y(x)$ и $ x(y)$.

Рис.8.5.Эллипс и его четыре вершины


Найдите значение кривизны в вершинах эллипса.     

Наверх: Кривизна плоской кривой

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры