Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения $f(x)=0$. Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть выразить его корни $x_1,x_2,\dots$ через известные постоянные (целые числа, числа $e$, $\pi$ и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются "в радикалах", а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Да и в случае, когда такая формула существует, бывает, что от неё мало практического толку ввиду сложности получающихся выражений. Например, для решения уравнений третьей степени имеется формула Кардано, позволяющая найти корни в зависимости от коэффициентов уравнения. Для уравнения

$$x^3+2x^2+3x+5=0$$

формула Кардано²⁵ даёт значение корня

$$\begin{multline*} x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{125}{729}+\frac{9409}{2916}}-\frac{97}... ...rt{9909}-97)}- \sqrt[3]{\frac{1}{2}(\sqrt{9909}+97)}-2\right]. \end{multline*}$$

Велика ли польза непосредственно от этого результата? Пока выражение не вычислено, мы не можем сказать даже, лежит ли корень на отрезке, скажем, $[-1;0]$. Вычислить же это выражение²⁶ -- работа, вполне сравнимая по трудоёмкости с той, что требуется для приближённого решения уравнения одним из тех методов, которые мы опишем ниже. Результат же всё равно в обоих случаях получится приближённый, поскольку вычислять дроби и корни в решении, данном формулой Кардано, также придётся приближённо.

Подразделы

• Отделение корней
• Метод простого перебора
• Метод половинного деления
• Метод простых итераций
• Метод секущих
• Метод одной касательной
• Метод Ньютона (метод касательных)
• Метод хорд (метод линейной интерполяции)
• Приближённое нахождение точки экстремума
• Метод простого перебора
• Метод почти половинного деления
• Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
• Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
• Упражнения

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры