Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Собственные числа и собственные векторы

        Определение 19.3   Ненулевой вектор $ x$ называется собственным вектором линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования $ \mathcal{A}$ конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования $ \mathcal{A}$ .         

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если $ L$  -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае $ {{\lambda}=0}$ ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В  примере 19.2 при $ {\varphi}$ не кратном $ \pi$ преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

        Пример 19.7   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ , симметричный исходному относительно прямой $ l$ (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор $ u$ , он соответствует собственному числу $ {{\lambda}=1}$ , и вектор $ z$ , который соответствует собственному числу $ {{\lambda}=-1}$ . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой $ l$ , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной $ l$ и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу $ -1$ .         

        Предложение 19.2   Пусть $ x$  -- собственный вектор линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ и пусть $ {\alpha}$  -- ненулевое число. Тогда $ {{\alpha}x}$  -- тоже собственный вектор линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ .

        Доказательство.    

$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x)={\alpha}{\lambda}x={\lambda}({\alpha}x).$

    

        Пример 19.8   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой $ l$ , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной $ l$ и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.          Предмет и методы вычислительной математики Линейное программирование Постановка задачи. Графический метод.

        Пример 19.9   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование  примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.         

Если в пространстве $ L$ задан базис, то линейному преобразованию $ \mathcal{A}$ соответствует матрица $ A$ . Пусть $ x$  -- собственный вектор преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ , $ {\alpha}$  -- координатный столбец вектора $ x$ . Тогда равенство $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ означает, что $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .

        Определение 19.4   Ненулевая матрица-столбец $ {\alpha}$ называется собственным вектором квадратной матрицы $ A$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если выполнено равенство $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .         

        Замечание 19.2   Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования $ n$ -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.         

        Предложение 19.3   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

        Доказательство.     Пусть $ A$ и $ B$  -- две подобные матрицы порядка $ n$ . Рассмотрим $ n$ -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и рассмотрим линейное преобразование $ \mathcal{A}$ , которое в этом базисе имеет матрицу $ A$ . По  следствию 19.1 $ B$ будет матрицей того же преобразования $ \mathcal{A}$ в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования $ \mathcal{A}$ будет совпадать со спектрами матриц $ A$ и $ B$ .     

3. Выберите тип обработки, используя раскрывающийся список Function Тип Keep edges outside of the selection удаляет фрагменты тишины внутри выделенной области но не затрагивает данные вне этой области. Тип Remove edges outs.de of the selection позволяет удалить фрагменты тишины в границах выделенной области, а также все данные (даже отличные от тишины) находящиеся за ее пределами. Этот тип может быть полезен в случае, если вы хотите сохранить только определенную часть данных и удалить остальное. Тип Remove Silence between phrases (creates regions) удаляет фрагменты тишины между фразами (например, в вокальном диалоге) в пределах выделенной области или целого файла. При этом для каждой такой фразы создается отдельная область (об областях мы рассказывали в главе 5). Используйте тип обработки Remove data beyond loop points, чтобы удалить все данные (а не только тишину) после выбранной петли в звуковом файле (про петли подробно будет рассказано в главе 13). Тип Remove data from start and limit file length удаляет тишину в начале звукового файла, а также обрезает конец файла в определенной точке, ограничивая таким образом длину файла. Вычислить интегралы

4. Установите значение параметра Attack threshold (-Inf. to 0 dB) передвигая его ползунок вверх и вниз. Этот параметр определяет уровень громкости звуковых данных, необходимый для открытия шлюза сигнала и соответственно, идентификации данных как приемлемых и определения стартовой точки отрезка. Единственный случай, когда вам не нужно устанавливать значение этого параметра - если вы используете тип обработки Remove data beyond loop points.

5. Установите значения параметра Release threshold (-Inf. to 0 dB), передвигая соответствующий ползунок вверх и вниз. Этот параметр определяет уровень громкости звуковых данных, необходимый для закрытия шлюза сигнала и, соответственно, идентификации конечной точки отрезка. Единственный случай, когда вам не нужно устанавливать значение этого параметра — если вы пользуетесь типом обработки Remove data beyond loop points. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

6. Если вы хотите, чтобы части вашего файла после обработки звучали достаточно ровно, стоит применить мягкое затухание и усиление звука на границах отрезков. Чтобы сделать так, просто укажите количество миллисекунд в полях параметров Fade in (0 to 5,000 ms) и Fade out (0 to 5,000 ms) с помощью расположенных сбоку счетчиков. Значение, поставленное по умолчанию и равное 20 миллисекундам, обычно дает хорошие результаты. Если вы используете тип обработки Remove data beyond loop points, вам не требуется устанавливать эти параметры.

7. Если вы выбрали тип обработки Remove silence between phrases (creates regions), вам понадобится установить значение параметра Minimum inter-phrase silence (0.1 to 3.0 seconds). Он указывает функции Auto Trim/Crop, сколько секунд (от 0,1 до 3) тишины должно быть между фразами, чтобы можно было создать новую область. Например, если вы удаляете фрагменты тишины между задиктованными предложениями, стоит установить как можно более высокое значение этого параметра, чтобы функция по ошибке не удаляла паузы между словами. Чтобы найти правильное решение, вам потребуется рассмотреть на практике несколько вариантов.