Назад Метод секущих  
 Наверх: Приближённое нахождение корней уравнений
Вперед: Метод Ньютона (метод касательных)

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Метод одной касательной

Заметим, что в методе секущих удобно было бы фиксировать наиболее удобное для первого шага значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$, при котором все секущие параллельны касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$. При таком выборе $ {\lambda}_0$ метод секущих называется методом одной касательной. Формула итераций этого метода имеет вид

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{f'(x_0)}f(x_i).$

Как видно из этой формулы, производную придётся вычислить только один раз, а затем на каждом шаге использовать значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$ или, что то же, $ k=f'(x_0)$.

Рис.9.12.Итерации метода одной касательной


При таком выборе $ {\lambda}_0$ в точке $ x_0$ выполнено равенство

$\displaystyle {\varphi}'(x_0)=1-{\lambda}_0f'(x_0)=0,$

и если отрезок, на котором отделён корень и выбрано начальное приближение $ x_0$, достаточно мал, а производная $ {\varphi}'(x)$ непрерывна, то значение $ {\varphi}'(x^*)$ будет не сильно отличаться от $ {\varphi}'(x_0)=0$ и, следовательно, график $ y={\varphi}(x)$ будет пересекать прямую $ y=x$, идя почти горизонтально. А это, как мы отмечали выше, будет давать нам быстрое приближение итераций к корню (так как число $ {\gamma}$ при этом можно выбрать равным $ \max\limits_x\vert{\varphi}'(x)\vert$, а эта величина мала).

        Пример 9.6   Решим методом одной касательной уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. (Напомним, что его корень был ранее нами отделён на отрезке $ [-2;-1]$.) Корень будем находить с точностью до $ {\varepsilon}=0.000001$, а для этого вычисления будем вести до тех пор, пока в значении $ x_i$ не зафиксируется шестой знак после десятичного разделителя.

В качестве начального приближения возьмём $ x_0=-2$. Поскольку

$\displaystyle f'(x)=(x^3+2x^2+3x+5)'=3x^2+4x+3,$

то $ f'(x_0)=7$ и $ {\lambda}_0=\frac{1}{7}$. Значит, итерационная формула будет такой:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{1}{7}(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5).$

По этой формуле последовательно получаем:

$\displaystyle x_1=-1.857143;x_2=-1.845898;x_3=-1.844096;$   
$\displaystyle x_4=-1.843795;x_5=-1.843745;x_6=-1.843736;$   
$\displaystyle x_7=-1.843735;x_8=-1.843734;x_9=-1.843734.$   

Восьмое и девятое приближения уже совпадают с точностью $ {\varepsilon}$, поэтому вычисления на этом прекращаем и полагаем $ \wt x=-1.843734$.     

        Упражнение 9.1   Покажите, что итерации расходятся, если начать их с точки $ x_0=-1$, так что второй конец отрезка не годится для начального приближения метода одной касательной. Не забудьте, что значение $ {\lambda}_0$ зависит от начального приближения и потому изменится.

Проверьте, сколько нужно итераций, чтобы найти то же значение корня, начав с $ {x_0=-1.5}$ и с $ {x_0=-2.5}$.

Ответ: Потребуется и в том, и в другом случае 22 итерации.   

Наверх: Приближённое нахождение корней уравнений

  

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры