Назад   Приближённое нахождение точки экстремума  
Наверх: Приближённое нахождение корней уравнений
Вперед: Метод почти половинного деления

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Метод простого перебора

Будем предполагать, что искомый минимум является строгим, то есть $ f(x)>f(x^*)$ при всех $ x\ne x^*$, $ x\in[a;b]$, и других точек локального минимума на отрезке нет. Предположим также, что точка минимума $ x^*$ -- внутренняя точка отрезка. Зададимся точностью $ {\varepsilon}$, с которой будем приближённо отыскивать $ x^*$. Приближённое значение точки минимума обозначим $ \wt x$, то есть $ \wt x$ -- это такое число, что

$\displaystyle \vert\wt x-x^*\vert<{\varepsilon}.$

Простейший способ обнаружить точку $ x^*$ с точностью $ {\varepsilon}$ -- это перебирать точки $ x_i$ отрезка $ [a;b]$ с шагом $ h\leqslant {\varepsilon}$, начиная с $ x_0=a$, до тех пор, пока не будет выполнено условие $ f(x_{i+1})>f(x_i)$, то есть пока функция не начнёт возрастать после точки минимума. При этом точка $ x^*$ может оказаться либо на отрезке $ [x_{i-1};x_i]$, либо на отрезке $ [x_i;x_{i+1}]$ (cм. следующий чертёж):

Рис.9.15.Два случая расположения точки минимума при $ f(x_{i+1})>f(x_i)$


Если теперь положить $ \wt x=x_i$, то в любом из двух случаев будет выполнено неравенство $ \vert\wt x-x^*\vert\leqslant h\leqslant {\varepsilon}$, то есть точка минимума будет найдена с нужной нам точностью. За приближённое значение $ f_{\min}$ нужно теперь взять $ f(\wt x)=f(x_i)$. Дополнительного вычисления функции при этом не потребуется, поскольку значение $ f(x_i)$ уже было найдено ранее.

Если не предполагать, что локальный минимум на отрезке $ [a;b]$ только один и что точка минимума -- внутренняя точка отрезка, то придётся изменить метод так: вычислять значения $ f(x_i)$ до тех пор, пока точка $ x_i$ не достигнет правого конца отрезка -- точки $ b$; на каждом шаге сравнивать текущее значение $ f(x_i)$ с минимальным из предыдущих значений $ m$, заменяя это минимальное значение $ m$ на $ f(x_i)$ при $ m>f(x_i)$. Наконец, вычислить $ f(b)$ (если точка $ b$ не совпадает с последней из точек $ x_i$) и также сравнить с минимальным из предыдущих значений. После этой процедуры $ m$ будет приближённо равно $ f_{\min}$, а та точка, в которой получено значение функции, равное $ m$ -- приближённым значением $ \wt x$ точки минимума $ x^*$.

Заметим, что метод простого перебора при поиске точки экстремума аналогичен методу простого перебора при поиске корня уравнения $ f(x)=0$.
Наверх: Приближённое нахождение корней уравнений


Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры