.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример Изобразить область интегрирования и изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Решение. Выпишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования D. Т. к. они должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл, то имеем . Сделаем чертеж области D.

Получили, что область D в данном случае – это треугольник ОВС.

Изменим порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем производить по переменной х, а внешнее по переменной у. Сделаем тот же чертеж еще раз.

 

Из чертежа видно, что левая часть границы области D – одна линия, а именно, y=x, а его правая часть состоит из двух линий ОВ и ВС, определяемых разными уравнениями: (или, что то же самое, ) и х=4. Следует область разбить на части так, чтобы каждая из них справа ограничивалась тоже одной линией. Такими частями будут (D1) - треугольник ОАВ и (D2) - треугольник ABC. Интеграл представляется как сумма интегралов

.

Пределы интегрирования в первом повторном интеграле получены так: область D1 спроецирована на ось Оy. Получится отрезок [0; 2]. Этим были определены нижний предел 0 и верхний предел 2 изменения переменной y во внешнем интеграле. Затем на отрезке [0; 2] оси Оy выбрана произвольная точка y, через которую проведена прямая, параллельная оси Оx, и на ней рассмотрен отрезок KL, содержащийся в области D1. Переменная x изменяется в области D1 от ее значения   на левой части контура ОАВ до ее значения 2y на правой части этого контура. (Уравнения линий, ограничивающих область D1, должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл).

Пределы интегрирования во втором повторном интеграле получены так: область D2 спроецирована на ось Оy. Получится отрезок [2; 4]. Этим были определены нижний предел 2 и верхний предел 4 изменения переменной y во втором внешнем интеграле. Затем на отрезке [2; 4] оси Оy выбрана произвольная точка y, через которую проведена прямая, параллельная оси Оx, и на ней рассмотрен отрезок МN, содержащийся в области D2. Переменная x изменяется в области D2от ее значения  на левой части контура АВC до ее значения 4 на правой части этого контура. (Уравнения линий, ограничивающих область D2, должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл).

Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл  по области D, ограниченной линиями .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямыми  (осями координат) и окружностью   (для возведем в квадрат последнее равенство, получим ). Сделаем чертеж области D.

Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох. Получится отрезок [0; 1]. Этим определяются нижний предел 0 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке [0; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (у=0), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел ().

=.

Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем

====.

пластинки D.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах