.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов .

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций с помощью подстановки  называемой универсальной тригонометрической подстановкой.

Действительно, так как

 то

Пример 1.6.1. Найти интеграл

Решение. Применяя универсальную подстановку  получим

Пример 1.6.2. Найти интеграл

Решение. Полагая , получим

Универсальная подстановка  на практике часто приводит к сложным и трудоемким выкладкам. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки.

Рассмотрим следующие случаи:

если функция  нечетная относительно синуса, т.е. , то применима подстановка ;

если функция  нечетная относительно косинуса, т.е. , то применима подстановка ;

если функция  четная относительно синуса и косинуса, т.е. , то применима подстановка .

Пример 1.6.3. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно косинуса. Поэтому, представляя  в виде  и делая замену , получим

Пример 1.6.4. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно синуса, поэтому применим подстановку . Тогда

Следовательно,

Пример 1.6.5. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция четная относительно синуса и косинуса, поэтому применим подстановку . Тогда

Следовательно,

 Интегралы вида

 Для нахождения интегралов указанного вида применяются тригонометрические формулы:

Тройные интегралы в цилиндрических координатах