.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример Найти интеграл .

Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим

Следовательно,

.

 Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные числа

Для нахождения интегралов указанного вида необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических формул:

Пример 1.6.7. Найти интеграл

Решение. Применяя формулу

, получим

.

Пример 1.6.8. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Так как , то окончательно получим

Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных.

Вычисление интегралов как пределов интегральных сумм на практике применяется крайне редко. Для нахождения интегралов используется, когда это возможно, формула Ньютона-Лейбница:

, (2.2.1)

где F (x) – какая либо из первообразных функций для f(x).

Применение этой формулы возможно, если подынтегральная функция f(x) имеет первообразную в классе элементарных функций, иными словами, если можно вычислить неопределенный интеграл

 (2.2.2)

Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница ,следует также обратить внимание на условия законности ее применения, а именно: подынтегральная функция  и ее преобразованная должны быть непрерывны всюду на отрезке .

Пример 2.2.1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить

.

Решение. Найдем первообразную для функции . Пусть , тогда

Возьмем F(x) = , тогда

 .

Пример 2.2.2. Вычислить

Решение. Найдем какую-либо из первообразных функций 

, где ,

Так как на отрезке интегрирования [1, 2]. ,

то

и

Пример 2.2.3. Можно ли применить формулу Ньютона – Лейбница к интегралу

Решение. Подынтегральная функция  имеет разрыв второго рода в точке , принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, формула Ньютона – Лейбница к данному интегралу неприменима.

Задачи для самостоятельного решения.

Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить:

1. . 3. .

 2. . 4.

Ответы.

1. 1-cos1 2.  3. 2 4. 

Тройные интегралы в цилиндрических координатах