Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Замена переменной в определенном интеграле.

При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.

Пусть  -непрерывная функция на отрезке . Сделаем замену переменной, положив , где - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке   и , . Отметим тот факт, что при изменении новой переменной от  до  значения старой переменной  пробегают весь отрезок .

При сделанных предложениях имеет место формула:

 (2.3.1)

Часто вместо подстановки  применяют обратную подстановку .

При вычислении определенных интегралов иногда оказываются полезными следующие свойства.

Если - нечетная функция, т.е. ,

то

Если - четная функция, т.е. ,

то .

Пример 2.3.1. вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , тогда , и подынтегральное выражение примет вид:

Пределы интегрирования по t находим из уравнений:

.

Можно принять , , тогда .

А можно взять  и , тогда .

В обоих случаях переменная  пробегает весь отрезок .

Возьмем  и , т.е. переменная t изменяется на отрезке . Тогда:

.

Пример 2.3.2. Вычислить интеграл , используя правило замены переменной.

Решение. Применим подстановку . Найдем новые пределы интегрирования: при   , а при  . Следовательно, при изменении   на отрезке  новая переменная  изменится на отрезке . Функция , непрерывно дифференцируемая на отрезке  и применение подстановки обоснованно. Итак, ,  и интеграл примет вид

.

Пример 2.3.3. Можно ли в интеграле  сделать подстановку  ?

Решение. Замена  неприменима к данному интегралу, так как при любом допустимом значении  величина  и выходит за пределы отрезка интегрирования .

Пример 2.3.4. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  является нечетной функцией . действительно,

Следовательно , .

Тройные интегралы в цилиндрических координатах