.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой   и прямой .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений.

.

Как видно из рис. 3.4, заданная фигура ограничена снизу параболой , сверху прямой  и проектируется на ось ОХ в отрезок . Следовательно, искомая площадь вычисляется по формуле (3.1.2):

.

  

Пример 3.1.2. вычислить площадь области, ограниченной астроидой:

, .

Решение. Граница области, заданная параметрическими уравнениями , , представляет замкнутую кривую (рис. 3.5). при движении вдоль этой кривой параметр t изменяется от 0 до . Заданная фигура состоит из четырех равновеликих частей. Составим интеграл площади той фигуры, которая находится в первой четверти, что соответствует изменению абсцисс точек области от 0 до .

Пределы изменения параметра t определяется из уравнений:

   

Тогда, по формуле (3.1.3) имеем

, .

Пример 3.1.3. Вычислить площадь области, ограниченной кривой: .

Решение. Исследуем вопрос, при каких значениях угла  в интервале от 0 до   существуют точки на границе указанной области. Правая часть уравнения  должна быть неотрицательной. Следовательно, при значениях , для которых , мы получаем все множество граничных точек области.

Решая неравенство , находим интервалы изменения угла :

; ; ; .

Граница области представляет замкнутую самопересекающуюся кривую, состоящую из 4 лепестков (рис. 3.6), а сама область складывается из 4 равновеликих фигур. Составим интеграл площади фигуры, ограниченной лепестком, для которого угол изменяется в пределах от  до . По формуле (3.1.4) получим

.

Тогда: .

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой  и параболой .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом:  , .

Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда , .

Ответы.

1.  2.  3.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах