Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Вычисление длины дуги плоской кривой .

Если плоская кривая задана уравнением на отрезке  и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина соответствующей дуги этой кривой равна:

 (3.2.1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от до , выражается интегралом:

 (3.2.2)

Здесь также предполагается, что  и непрерывно дифференцируемы на отрезке .

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина дуги, соответствующей изменению угла  от  до , равна:

 (3.2.3)

Пример 3.2.1. Вычислить длину дуги кривой от  до .

Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем . Используя формулу (3.2.1), получим:

.

Пример 3.2.2. Вычислить длину астроиды , .

Решение. Кривая астроиды состоит из четырех дуг равной длины (см.рис.3.5).

Вычислим длину дуги, расположенной в первой четверти и соответствующей изменению параметра  от 0 до .

Найдем предварительно  и  

,  и составим интеграл длины дуги, заданной параметрически, используя формулу (3.2.2)

.

Пример 3.2.3. Найти длину дуги кривой .

Решение. Так как полярный радиус  по смыслу должен быть неотрицательный, то пределы изменения угла  определяются неравенством . Тогда . При изменении  от 0 до длина радиуса  возрастает от 0 до . При изменении  от до  величина убывает от  до 0. Радиус вектор  описывает замкнутую кривую, представляющую окружность радиуса  с центром в точке (рис.3.7).

 Вычислим длину этой кривой, используя

формулу (3.2.3) .

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить длину дуги кривой

Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрами:

 .

Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением:  .

Ответы.

1.  2. 12 3. 8.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах