Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций.

Рассмотрим функцию , определенную в промежутке  и интегрируемую на любой его конечной части , т.е имеет смысл при любом .

Определение. Несобственным интегралом функции  в промежутке от  до , называется конечный или бесконечный предел интеграла при . Этот предел обозначают символом:

 (4.1.1)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если предел бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.

Аналогично определяется интеграл на промежутке :

. (4.1.2)

Интеграл на всей числовой оси (от  до +)определяется в виде суммы интегралов на полу-бесконечных промежутках:

. (4.1.3)

Если функция  определена и непрерывна на промежутке , кроме того, для функции в этом промежутке существует первообразная в классе элементарных функций, то по формуле Ньютона - Лейбница:

. (4.1.4)

Очевидно что интеграл сходится, если существует и конечен:

 (4.1.5)

Пример 4.1.1. Вычислить, если это возможно, несобственный интеграл: .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме того, имеет первообразную . Тогда по определению имеем:

Пример 4.1.2. Сходится ли несобственный интеграл ?

Решение. Используя определение несобственного интеграла на неограниченном промежутке, вычислим:

Предел бесконечен, поэтому данный интеграл расходится.

Пример 4.1.3. При каких значениях сходится интеграл: .

Решение. Пусть , тогда:

При имеем: .

Следовательно интеграл сходится при  и расходится при .

Пример 4.1.4. Установить сходимость интеграла .

Решение. Используя определение несобственного интеграла, вычислим предел.

.

Предел конечен, следовательно интеграл  сходится.

Задачи для самостоятельного решения.

Доказать, что интеграл  расходится.

Вычислить интеграл .

Тройные интегралы в цилиндрических координатах