.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Рассмотрим функцию , заданную в конечном промежутке , но неопределенную в этом промежутке.

Предположим, что функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна всюду при .

Определение. Несобственным интегралом от неограниченной функции на промежутке от до   называют конечный или бесконечный предел интеграла  при  .

Этот предел обозначают так: 

. (4.2.1)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называют сходящимся. В противном случае расходится.

Если особая точка  функции является внутренней точкой отрезка , то по определению полагают:

. (4.2.2)

В этом случае несобственный интеграл называют сходящимся, если существуют и конечны оба предела в правой части равенства.

Пример 4.2.1. Вычислить, если это возможно, .

Решение. Подынтегральная функция неограниченна в окрестностях точки , так как  при .

Подынтегральная функция непрерывна всюду на отрезке , , следовательно, существует определенный интеграл.

Вычислим его:

.

Рассмотрим предел этого интеграла при .

.

Следовательно, несобственный интеграл от неограниченной функции сходится по определению и .

Пример 4.2.2. Вычислить, если это возможно, .

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , являющейся внутренней точкой отрезка интегрирования. Поэтому подставим интеграл в виде суммы двух интегралов:

.

Несобственный интеграл  имеет особенность на верхнем пределе, а   - на нижнем пределе. Если  и  сходятся, то сходится задний предел.

По определению несобственного интеграла особой точкой внутри промежутка интегрирования имеем:

.

Пример Исследовать сходимость интеграла  в зависимости от параметра .

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , если . При подынтегральная функция непрерывна всюду  на отрезке , и интеграл является определенным интегралом в собственном смысле.

Рассмотрим случай и вычислим .

Если , то  и , т.е. конечен, а следовательно, интеграл сходится по определению. Если ,

и 

в этом случае интеграл  расходится.

Если , то , и интеграл также расходится.

Следовательно, интеграл сходится при  и расходится при .

Тройные интегралы в цилиндрических координатах