Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Метод подстановки (замены переменных).

Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:

 Первая формула: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) , при которой переменная x принимается как дифференцируемая функция новой переменной t, и dx = j¢(t)dt получается новый интеграл более простой для интегрирования:

 Вторая формула: Если под знаком заданного интеграла можно выделить функцию j(x) , ее производную j¢(x) и дифференциал j¢(x)dx , такую, что после выбора в качестве новой переменной интегрирования t = j(x) , новый интеграл приобретает более простой вид

 

Таким путем можно обосновать формулу

  

 

 где t=ax+b , x=(t-b)/a dt=adx a, b – const 

т.е. мы применили ранее рассмотренный прием интегрирования «введение новой функции под знак дифференциала» с последующей подстановкой новой переменной. .

 Пример 6. Найти неопределенный интеграл .

Проведем замену переменной интегрирования t = sinx, т.к. dt = cosxdх, тогда:

 

 Пример 7.

Замена  - обратная функция на промежутке строгой монотонности.  Получаем:

=

 Пример 8:

=

 Пример 9.

 

 Пример 10:Найти неопределенный интеграл. С целью упростить подынтегральное выражение, избавиться от корня, вспомним основное тригонометрическое тождество  cos2x + sin2x = 1 откуда cos2x = 1-sin2x на основании этого делаем замену переменной

Используя подстановки sint=x/3, t=arcsin(x/3) и выражая

 

sin4t=2sin2tcos2t=4sintcost(cos2t-sin2t)=4(x/3)(√ 1-x2/32)(1-x2/9 - x2/9) после подстановки, находим первообразную.

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода специальной подстановки для различных типов функций.

Разберем пример , в котором метод интегрирования по частям применяется два раза. 

 

 Пример 10.

 

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 Пример 11.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

 Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным ,заменой переменной или введением функций под знак дифференциала, а также интегрированием по частям.

 Пример 12.

 

 Пример 13.

 

 Пример 14.

В этом же примере преобразуем дифференциал используя его свойства , внесем  cosx под знак дифференциала

 Пример 15.

 Пример 16

 

 Пример 17.

 Пример 18

 Пример 19

 Пример 20.

 

 Пример 21.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах