.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой её точке .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямой и параболой (или  – это парабола с вершиной в точке (0, -1), симметричная относительно оси Oy, ветви направлены вверх). Найдем координаты точек пересечения прямой и параболы. Для этого решим систему:

Сделаем чертеж области D.

Масса неоднородной пластины D с поверхностной плотностью  вычисляется по формуле

.

В нашем случае .

Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох. Получится отрезок [-2; 1]. Этим определяются нижний предел -2 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке [-2; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел ( или ).

=.

Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем

==

Итак, масса неоднородной пластины D, ограниченной линиями , с поверхностной плотностью в каждой её точке равна 19,8.

Пример2.1. Вычислить массу m дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой её точке .

Решение. Масса m дуги  с плотностью в каждой её точке  вычисляется по формуле

Из уравнения окружности выразим у:и найдём

  .

Тогда   =

Дуга окружности , лежащая в первой четверти, находится между точками . Тогда масса

Тройные интегралы в цилиндрических координатах