.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

 Пример 32.

 Пример 33.

 Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

 Пример 34.

 Пример 35.

 Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

 Пример 36.

Итого 

Разберите самостоятельно следующие примеры:

 

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

 С помощью подстановки  функция рационализируется.

Тогда

 Пример 37.

 Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

 Проиллюстрируем это на примере.

 Пример 38.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

 Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

Если  - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если  - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

 Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

 На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида .

 Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

 Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

()

 Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

 Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или

 сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

 Пример 39:

 Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

 Пример 40:

 Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или  сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

 Пример 41:

Тройные интегралы в цилиндрических координатах