.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

 К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

 Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

 Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

 Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

 - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

 - интегральный логарифм

 - приводится к интегральному логарифму

 - интегральный синус

 - интегральный косинус

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , если областью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми y=0, x=2, y= (см. рис.3).

Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (3), то здесь (x)=0,   (так как точка входа лежит на оси 0x, а точка выхода - на прямой ); a=0, b=2.

Поэтому, применяя формулу (3),

имеем

 .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно, .

Применяя для вычисления двойного интеграла  формулу (4), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом случае  (так как точка входа лежит на прямой  или x=2y, а точка выхода на прямой x=2), c=0, d=1, получим .

Так как

,

то  

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования σ ограниченна линиями x=0, y=x,  9 (см. рис.4).

Рис. 4

Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу (3). Здесь , , a=0, b=1. поэтому .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно,

.

Если при вычислении двойного интеграла  пользоваться формулой (4), то придется область интегрирования σ разбить на две части  и , так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности .

Применяем формулу (4) к каждому из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства: , так как , , c=0, d=1.

Вычисляем внутренний интеграл, помня, что y-постоянно:

.

Следовательно, .

Аналогично находим , так как , , с=1, d=2.

.

Следовательно, .

Таким образом, окончательно, .

Тройные интегралы в цилиндрических координатах