.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Пример 3. Изменить порядок интегрирования

Решение.

Область D расположена в плоскости  и между прямыми   и  ее нижняя граница   верхняя:  Спроектируем область  на ось . В результате получим отрезок   Левой границей области  является прямая  правой на участке  - прямая , а на участке  - дуга окружности  Поэтому область  следует разбить на две части ( и ), а интеграл – на сумму интегралов:

Вычисление площади плоской области

Площадь  плоской области  на плоскости  вычисляется по формуле

 (4)

Пример 4.

Вычислить площадь плоской области , ограниченной прямой  и параболой

Решение.

Область  можно проектировать на ось и на ось ; спроектируем ее на ось . Область симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить площадь правой половины области  и результат удвоить. Правая половина области   проектируется на ось  в отрезок  и имеет левой границей прямую  а правой – линию  или  В результате получим:

, откуда

Или

Рис. 6

Вычисление объема тела

Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью , выражается двойным интегралом

. (5)

Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями  , , .

Решение. Данное тело (рис. 7) представляет вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости , а снизу – частью плоскости xOy, заключенной между параболой  и прямой .

Рис. 7

Согласно формуле (5) объем этого тела

.

При интегрировании в другом порядке

.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах