Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

и) .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при  и . Поэтому

. Имеем . Отсюда следует, что интеграл  сходится.

Далее, . Отсюда получим, что интегралы  также сходятся.

Наконец, .

Интегралы  однотипны. Поэтому рассмотрим . Имеем

.

Интеграл  сходится при . Отсюда следует, что сходятся интегралы , а значит, и интеграл .

Объединяя результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится.

Задачи 7, 8. Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость.

а) .

Решение. Исследуем интеграл  на абсолютную сходимость. Обозначим

.

Особая точка подынтегральной функции . Поэтому интеграл  разобьем на два интеграла

. (17)

Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода. Имеем

 при . Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получаем, что интеграл  сходится (см. пример 3).

Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Имеем

.

Используя теорему сравнения и результат примера 1, отсюда получаем, что интеграл  сходится.

Таким образом, эти результаты и (17) дают, что интеграл  сходится. Значит,

Ответ: интеграл  сходится абсолютно.

б) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка . Сделаем замену переменной . Это возможно, так как

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

 а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

 б) строго убывает;

 в) .

Тогда

. (18)

 - несобственный интеграл 1-го рода. По признаку Дирихле интеграл  сходится, так как:

1) функция  непрерывна на промежутке  и ее первообразная   ограничена;

2)  непрерывно дифференцируема на промежутке   и ;

3) .

Итак, интеграл  сходится, а значит, сходится и интеграл .

Докажем теперь, что интеграл  расходится. Имеем

.

Известно, что интеграл  расходится (см. пример 1). По признаку Дирихле интеграл  сходится (доказывается точно так же, как сходимость интеграла  - см. выше). Таким образом, интеграл   расходится. Так как , то по теореме сравнения интеграл  также расходится.

Следовательно, интеграл  сходится условно, и значит (см. (18)),

Ответ: интеграл  сходится условно.

в) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Используя признак Дирихле, докажем, что он сходится. Действительно,

.

Выполняются следующие условия:

1) функция  непрерывна на промежутке ; ее первообразная   ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке   и монотонно убывает ;

3) .

Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл  расходится.

Таким образом, получаем

Ответ: интеграл  сходится условно.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах