.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Задача. Получить рекуррентную формулу для интеграла  и вычислить его.

.

Решение. Сделаем замену переменной  и обозначим . Получим

. (32)

Имеем

. (33)

Интеграл  интегрируем по частям:

. (34)

Подставляя (34) в (33), получим рекуррентную формулу

. (35)

Применяя формулу (35)  раз, имеем

. (36)

Объединяя (36) и (32), получим

Ответ: .

Задача 11. Вычислить .

Решение. Имеем

,

где . Отсюда

. (37)

Здесь . Заметим, что при любом  интеграл  сходится и, следовательно,   конечно. Имеем

. (38)

Так как , то . Учитывая (38), отсюда имеем

. (39)

Из формул (37) и (39) получаем

Ответ: .

Задача 12. Вычислить

а) .

Решение. Пусть . Очевидно, что , Поэтому несобственный интеграл 1-го рода   расходится. Вычислим . Имеем

.

Таким образом, мы получили

Ответ: .

б) .

Решение. Имеем

.

Таким образом, получаем

 Ответ:  не существует.

в) .

Решение. Особая точка . Очевидно, что несобственный интеграл 2-го рода   расходится, так как . Поэтому

.

Отсюда

Ответ: .

Задача 13. Доказать неравенства.

а) .

Доказательство. Обозначим . Особая точка . Так как

, то интеграл  абсолютно сходится.

Пусть

. (40)

 Рассмотрим интеграл . Обозначим . Имеем

. (41)

Докажем, что

. (42)

Действительно, . Следовательно,  убывает на промежутке . А так как , то отсюда следует (42). (41) и (42) дают нам, что . Следовательно,

. (43)

Используя вторую из формул (43), получим . Итак,

. (44)

Оценим интеграл . Имеем

, (45)

Так как  (см. (40), то из неравенств (44) и (45) получаем

. (46)

(Доказать, что неравенства (44) и (45) строгие).

Пусть теперь

. (47)

Используя первую из формул (43), получим

. (48)

Докажем, что

. (49)

Интегрируя по частям, имеем

. (50)

Далее

. (51)

Из (50) и (51) получим .

Неравенство (49) доказано. Из (47) - (49) следует

. (52)

Неравенства (46) и (52) дают

.

Замечание. Интегрируя по частям интеграл , можно получить более точную оценку интеграла .

б) .

Доказательство. Обозначим . Интеграл  является сходящимся несобственным интегралом (доказать). Имеем

. (53)

Очевидно, что . Отсюда

. (54)

Далее . Тогда

. (55)

Объединяя (53) - (55), получим

. (56)

Замечание. Оценка (56) может быть улучшена.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах