.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойства 4, 5 и формулы 11, 14, получим

Пример 1.1.6. Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойство 5 и формулу 4, получим

Замечание. При вычислении отдельных интегралов нет надобности писать после каждого слагаемого произвольную постоянную, так как сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная.

Введем вместо х новую переменную t, связанную с х соотношением , где  – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную проиводную , тогда справедлива формула

Формула (1.2.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При замене переменной весьма часто бывает выгоднее задавать не х как функцию t, а наоборот, задавать t как функцию х в виде .

Пример 1.2.1. Найти интеграл

Решение. Полагая =t, имеем

Тогда по формуле (1.2.1)

.

Возвращаясь к переменной х, окончательно получим

.

Пример 1.2.2. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Отсюда  и

Пример 1.2.3. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно,

.

Пример 1.2.4. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим .

Следовательно,

Пример 1.2.5. Найти интеграл .

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно, .

Тройные интегралы в цилиндрических координатах