.
Предел функции Производная функции Тройные и двойные интегралы Примеры курсового расчета Векторная алгебра Аналитическая геометрия Производные Дифференцируемость функций Комплексные числа задачи Матрицы

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Пример 1.2.6. Найти интеграл .

Решение. Замечая, что , введем замену: . Дифференцируя последнее равенство, найдем, что .

Следовательно,

.

С помощью метода замены переменной можно показать, что если F(x) – первообразная для функции f(x), то

Эти правила часто применяются для нахождения неопределенных интегралов.

Например,

.

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

где U=U(x), V=V(x) – дифференцируемые функции.

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части формулы (1.3.1) окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение следует разбить на два сомножителя. Один из них обозначается через U, а остальная часть относится ко второму сомножителю и обозначается через dV. При нахождении интегрированием функции V для нее получается бесконечное множество первообразных. Чтобы применить формулу (1.3.1), можно взять любую из них, в частности ту, которая соответствует произвольной постоянной, равной 0.

Пример 1.3.1. Найти интеграл

Решение. Подынтегральное выражение разбиваем на два сомножителя следующим образом:

Тогда .

Подставляя найденные выражения в формулу (1.3.1), получим

Пример 1.3.2. Найти интеграл

Решение. Полагая  найдем .

По формуле (1.3.1) имеем

Пример 1.3.3. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем

.

По формуле (1.3.1) имеем

Пример 1.3.4. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем .

Следовательно,

Найдем

Для этого сделаем замену . Тогда , т.е. . Следовательно,

и

В некоторых случаях метод интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Пример 1.3.5. Найти интеграл

Решение. Полагая , найдем

Следовательно,

К последнему интегралу еще раз применим формулу интегрирования по частям.

Полагая , найдем .

Следовательно,

Подставляя полученное выражение в соотношение (1.3.2), приходим к уравнению с неизвестным интегралом

Перенося искомый интеграл в левую часть, получим

и

К числу интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, относятся интегралы следующих видов:

Здесь P(x) – многочлен относительно х (в частности, степенная функция xn)

Интегралы вида  и  также находятся интегрированием по частям.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах