.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике Векторная алгебра и аналитическая геометрия

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение:1. Расстояние d между точками М1 (х1; y1) и М2 (x2; y2) определяется по формуле:

d =  (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ = = =15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1; y1) и М2 (x2; y2), имеет вид:

  =  (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

 =  =  = ,

3у – 24 = − 4х – 16, 4х + 3у – 8 = 0 (АВ).

Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: у = − Отсюда kАВ= − . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

 ,

х+7у-52=0 (АС).

Отсюда kАС = −.

3. Угол  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k 2, определяется по формуле:

tg =. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее k1=kАВ= −, k 2= kАС=−.

tg А = ===1,

А = arctg 1 = 45°0,79 рад.

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

kСD=−=−=.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1; y1) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:

у – у1=k(х – х1).

Подставив в (4) координаты точки С и kСD=, получим уравнение высоты СD:

у – 6 =  (х – 10), 4у – 24 = 3х – 30, 3х – 4у – 6=0 (CD) (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

 откуда х = 2, у = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

CD == =10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е(а; b) имеет вид:

 (х – а)2+(у – b)2 = R2. (6) 

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

хЕ===6, уЕ= ==3.

Следовательно, Е (6; 3) и R==5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

(х – 6)2 + (у – 3)2 = 25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А,а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой, АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

4·10 + 3·6 – 8 =50 > 0.

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х + 3у – 8 ≥0.

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

  

2х – у – 14 =0 (ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2·(−4)– 8–14=−30<0. Искомое неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой Ас и содержащую точку В: 5+7·(−4)–52=−75<0. Третье искомое неравенство х+7у–52≤0. Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств

 

 На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е.


На главную