.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Ряды

 Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При   данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,

  принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость

Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при x =  исходный ряд сходится.

Таким образом,  - область сходимости данного ряда .

Задача 15. Вычислить  с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем:

Тогда

 .

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

.

Вопросы для самопроверки

Что называется числовым рядом?

Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

Какой числовой ряд называется сходящимся?

Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

Как найти область сходимости степенного ряда? 

Запишите разложение в степенной ряд функций , sin x, cos x, 

  , ln (1+x) .

Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?


На главную