.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции   в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M0:

.

Тогда в точке  имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении  :

.

Пример 3. Вычислим работу силы  вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

.

Тогда работа А силы  на пути АВ вычисляется по формуле

.

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

 по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости  с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора  этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости (р) с координатными плоскостями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.

1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле:

.

На отрезке АВ имеем:

.

,

На отрезке ВС: ,

,

На отрезке СА: ,

,

Следовательно, .

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса.

Для этого вычислим:

.

В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды ОАВС:

.

По формуле Стокса имеем:

,

где .

Следовательно,

.


На главную