.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

.

Так как

,

то

.

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При  имеем , данный ряд расходится.

При  имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 3. Вычислить  с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

,

,

так как

,

.

.


На главную