.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Приложения производной

Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах (−∞; 1) и (1; ∞).

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств = (тогда f(х) – четная функция) или   =  (для нечетной функции) для любых х и −х из области определения функции:

 ==−

Следовательно,  и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у'=

у'=0 при  и у' − не существует при . Тем самым имеем две критические точки:    Но точка  не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): (−∞; 0), (0; 1), (1; ∞).

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительная и данная функция возрастает. При переходе через точку  первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точку функция имеет минимум: уmin=y(0)=−1. Значит, А(0; −1) − точка минимума.

На рис. 5 знаками +, −указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелами – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у''=− 

 


Рис. 5

у''=0 при  и у''− не существует при . Разобьем числовую ось на три интеграла (рис. 6); (−∞; −), (−; 1), (1; ∞). На первом интервале вторая

производная у''=0 при  − абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В - точка перегиба графика функции.

6.  − точка разрыва функции, причем .

Поэтому прямая  является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты  воспользуемся формулами:

 .

Тогда

,

.

Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

Рис. 7


На главную