.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.

Обозначим через дм − сторону основания, дм− высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна , а объем V=. Отсюда:

= и S=

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

S'=2

Отсюда  S'>0 при >6, S'<0 при <6. Следовательно, при  функция S имеет минимум. Если , то =3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 л будут наименьшим, если он имеет размеры 6дмХ6дмХ3дм.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Роля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? критическими?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.

11. В каком случае применяется првило Лопиталя при вычислении пределов?

Функции нескольких переменных

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение функции двух независимых переменных. Приведите примеры.

2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных? Каково геометрическое изображение функции двух переменных?

3. Что называется частным и полным приращением функции двух независимых переменных?

4. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.

5. Какая функция называется непрерывной в точке? в области?

6. Дайте определение частных производных первого порядка функции двух переменных. Каков их геометрический смысл?

7. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

8. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?

9. Что является необходимым условием экстремума функции двух переменных?

10. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.

 

. Неопределенный интеграл

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.

5. В чем сущность метода интегрирования заменой переменной?

6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Тема 9. Определенный интеграл

 гл. XIV, XV;   № 1598, 1607, 1619, 1622, 1629, 1636, 1670, 1686.

Разберите решение задачи 11 данного пособия.

Задача 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+4х, у=х+4 (рис. 8).

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями у=f(х) и у=(х), пересекающими в точках абсциссами  и , определяется по формуле

 S= (1)

Рис. 8

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

  откуда  

Применяя формулу (1), получим:

=

=20(кв. ед.)

 

Вопросы для самопроверки

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции у=f(х) на отрезке .

3. Что называется определенным интегралом от функции у=f(х) на ?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?

 10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.


На главную