.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Найдите производные функции Дифференциальные уравнения Элементы линейного программирования Исследовать функцию Ряды Типовой вариант контрольной работы.

Контрольная по математике Векторная алгебра и аналитическая геометрия

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

Дифференциальные уравнения

Разберите решение задач 12, 13 данного пособия.

Задача12. Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид:

u'υ+uυ'− uυ tg x=− u2 υ2 cos x

или

 υ(u'−u tg x)+ uυ'=− u2 υ2 cos x (1) 

Выберем функцию u так, чтобы

 u'− u tg x=0 (2)

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид

 uυ'==− u2 υ2 cos x или υ'=− u υ2 cos x  (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющими переменными, имеем:

 tg x d x, ln u=−ln cos x, u=.

Здесь производная постоянная С=0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:

   .

Тогда

у= u·υ=− общее решение данного уравнения.

Задача 13. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0.

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то есть

у = уодн+.

Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

 уодн=, (4)

где − комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , , имеем:

 уодн=

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение =. Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение =.

Применяя эту теорему при ,, имеем:

=x(Acos2x+Bsin2x)

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'':

у''=(4В−4Ах) cos2x+(−4А−4Вх) sin2x.

Подставив в данное уравнение  и у'', получим:

4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x,

откуда А=−1, В=−2.

Следовательно, =−х(cos2x+2sin2x) и

у=−х(cos2x+2sin2x).

Найдем у':

у'=−2С1 sin2x+2С2 cos2x- cos2x-2sin2x-

-х(−2sin2x+4 cos2x).

Используя начальные условия, получим систему

Следовательно, у= есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

 4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?


На главную