Функции и их графики Непрерывность, точки разрыва

Двойка? Нет!
Графика
	Начертательная геометрия
	Практикум по решению задач
	Конспект лекций черчение
	Геометрическое черчение
	История искусств
	Тени Компьютерная графика
	Искусство Древней Греции
	Первобытное искусство
	Культура Древней Азии
	Компьютерная анимация
	Статуи фараона Египет
	История Древнего Рима
	Византия Константинополь
	Средневековая Западная Европа
	Белокаменное зодчество Руси
	Рисунок композиция
	Перспектива
	ЕСКД - констр. документация
	Инженерная графика
Математика
	Элементарная математика
	Кратные интегралы
	Математический анализ
	Векторный анализ
	Аналитическая геометрия
	Производная и диф. уравнения
	Математика 2 курс
	Лекции, конспекты
	Функции и их графики
	Математический анализ
	Комплексные числа
	ТФКП
*Физика*
	Физические законы механики
	Электричество. Магнетизм
	Колебания. Волны
	Ядерная физика Лекции
	Атомная и ядерная физика
	Электричество, электростатика
	Магнетизм, индукция
	Оптика волновая квантовая
	Основы физики и ТОЭ
	Молекулярная физика

*Информатика*
	Архитектура ЭВМ
	Пролог програмирование
	Лекции Пролог
	Учебник PHP
	Информационные технологии
	Web технологии
	Интернет
	Web безопасность
	GPRS
	Компьютерные сети
	Локальные сети
	Система доменных имен
	Основы вычислит. систем
	Вычислительные комплексы
	Операционные системы
	Windows 2000
	Windows server 2003
	Java учебник
	Примеры Java
	Базы данных
	Язык PHP
	Функции PHP A-C D-F G-I J-M N-O P-R S-T U-Z
	TurboPascal
*ТКМ*
Электротех. материалы
Лекции ТКМ
*Электротехника*
	Общая электротехника
	Электротехника
	ТОЭ Законы Кюрхгофа
	Электротехника конспекты
	ТОЭ
*Атомная энергетика*
	Реактор РБМК
	Реактор ВВЭР
	Реактор БН-600
	Атомные станции
	Юбилей Энергетики
	Ядерное оружие
*Готовые работы*
	Оформить заказ
	Дипломные, курсовые
	Купить контрольную
	Контрольные, расчетные
	Рефераты
	Лабораторные работы
	Курсовые расчеты

Разложение вектора по базису

Даны векторы ${\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , ${\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор ${\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Функции

пример

Первый способ задания функции: табличный

задача

задача

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пусть $A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция задана формулой $\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Пусть -- функция, заданная во всех точках плоскости $\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$

Пусть -- функция, заданная во всех точках плоскости $\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$

Скалярное произведение векторов

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ${\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и ${\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $60^{\circ}$ .

Даны вершины треугольника: , ,

Смешанное произведение векторов

Является ли система векторов ${\bf a}=(1;1;-2)$ , ${\bf b}=(4;-1;3)$ , ${{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Является ли система векторов ${\bf a}=(1;1;-2)$ , ${\bf b}=(4;-1;3)$ , ${{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Композиция функций

Пусть $f(x)=\sin x$ , $x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$ , и $g(u)=\sqrt{1-u^2}$ , $u\in U_2=[-1;1]$

Обратная функция

Если -- ограничение функции $\sin$ на отрезок $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$ -- биекция.

Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $\arccos$ или $\cos^{-1}$ ). Это функция, обратная к ограничению функции $\cos$ на отрезок $[0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Функция арктангенс (обозначается $\mathop{\rm arctg}\nolimits$ , или $\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$ , или $\tan^{-1}$ )-- это функция, обратная к ограничению функции $\mathop{\rm tg}\nolimits$ на интервал $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , то есть обратная к главной ветви тангенса:

Пределы при разных условиях

Пусть и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Покажем, что предел функции $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $x\to+\infty$ равен числу 3.

Покажем, что предел последовательности $y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Уравнение плоскости

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам ${\bf p}=(1;2;-1)$ и ${\bf q}=(-2;0;3)$

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Пусть производится замена и $x\to0$

Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=3x-2$ , где $x\to2$

Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $x\to1$

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Рассмотрим функцию .

Функция $f(x)=\dfrac{1}{x}$ -- бесконечно малая при $x\to+\infty$ , $x\to-\infty$ и при $x\to\pm\infty$

При базе $x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и ${\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$

пример

Общие свойства пределов

Пусть , и взята база $\mathcal{B}=\{x\to0\}$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$

Найдём предел $\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}.$

Найдите пределы: $\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$

Первый и второй замечательные пределы

Вычислим предел

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$

$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Примером бесконечно большой при ${x\to+\infty}$ может служить

Примером отрицательной бесконечно большой при $x\to0+$ может служить функция $f(x)=\ln x$

пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Найдём предел $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$

Найдём предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$

Разложение вектора по базису

Даны векторы ${\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , ${\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор ${\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Функции

пример

Первый способ задания функции: табличный

задача

задача

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пусть $A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция задана формулой $\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Пусть -- функция, заданная во всех точках плоскости $\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$

Пусть -- функция, заданная во всех точках плоскости $\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$

Скалярное произведение векторов

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ${\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и ${\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $60^{\circ}$ .

Даны вершины треугольника: , ,

Смешанное произведение векторов

Является ли система векторов ${\bf a}=(1;1;-2)$ , ${\bf b}=(4;-1;3)$ , ${{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Является ли система векторов ${\bf a}=(1;1;-2)$ , ${\bf b}=(4;-1;3)$ , ${{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Композиция функций

Пусть $f(x)=\sin x$ , $x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$ , и $g(u)=\sqrt{1-u^2}$ , $u\in U_2=[-1;1]$

Обратная функция

Если -- ограничение функции $\sin$ на отрезок $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$ -- биекция.

Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $\arccos$ или $\cos^{-1}$ ). Это функция, обратная к ограничению функции $\cos$ на отрезок $[0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Функция арктангенс (обозначается $\mathop{\rm arctg}\nolimits$ , или $\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$ , или $\tan^{-1}$ )-- это функция, обратная к ограничению функции $\mathop{\rm tg}\nolimits$ на интервал $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , то есть обратная к главной ветви тангенса:

Пределы при разных условиях

Пусть и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Покажем, что предел функции $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $x\to+\infty$ равен числу 3.

Покажем, что предел последовательности $y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Уравнение плоскости

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам ${\bf p}=(1;2;-1)$ и ${\bf q}=(-2;0;3)$

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Пусть производится замена и $x\to0$

Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=3x-2$ , где $x\to2$

Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $x\to1$

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Рассмотрим функцию .

Функция $f(x)=\dfrac{1}{x}$ -- бесконечно малая при $x\to+\infty$ , $x\to-\infty$ и при $x\to\pm\infty$

При базе $x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и ${\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$

пример

Общие свойства пределов

Пусть , и взята база $\mathcal{B}=\{x\to0\}$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$

Найдём предел $\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}.$

Найдите пределы: $\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$

Первый и второй замечательные пределы

Вычислим предел

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$

$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Примером бесконечно большой при ${x\to+\infty}$ может служить

Примером отрицательной бесконечно большой при $x\to0+$ может служить функция $f(x)=\ln x$

пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Найдём предел $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$

Найдём предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$

Сравнение бесконечно малых

Три величины ${\alpha}(x)=x^2-3x+2$ , ${\beta}(x)=x^2+4x-5$ , ${\gamma}(x)=x^2-2x+1$ являются бесконечно малыми при базе $x\to1$

Используя первый замечательный предел, легко видеть, что при $a\ne0$ и $b\ne0$ $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{bx}= \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}... ...}{b}\cdot \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}=\dfrac{a}{b}\cdot1=\dfrac{a}{b}\ne0.$

При базе $x\to0$ величины и , где и $C=\mathrm{const}\ne0$ , $D=\mathrm{const}\ne0$ , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел $\dfrac{Cx^t}{Dx^t}=\dfrac{C}{D}$ постоянно и его предел равен $\dfrac{C}{D}\ne0$

Согласно первому замечательному пределу, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$ Это означает, что

$\displaystyle \sin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$

Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Вычислим предел

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$

$\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$

$\begin{multline*} e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim... ...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}= \dfrac{x}{2}. \end{multline*}$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$

Прямая в пространстве

Требуется найти какую-нибудь точку на прямой

Основные задачи на прямую и плоскость

Прямая задана уравнениями $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$

Найдите точку пересечения прямой $\frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости

Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ : .

Определение непрерывности функции

Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку ${x_0=0}$ .

Пусть $f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и . Тогда $\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и ${f(0)=\sqrt{0}=0}$ .

Определение точек разрыва

Функция $f(x)=\dfrac{1}{x}$ имеет при разрыв второго рода, так как $f(x)\to+\infty$ при $x\to0+$ и $f(x)\to-\infty$ при $x\to0-$

Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$ , для которой $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x^2-x\ne0\}=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$

Возьмём $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$ , где $n\in\mathbb{N}$ .

Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Рассмотрим функцию $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ ; её область определения ${\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$ , и точка -- точка разрыва.

Функция $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при разрыв второго рода, так как $f(x)\to+\infty$ при $x\to0+$ и $x\to0-$ .

Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$

Рассмотрим функцию , заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Окружность

Нарисуйте кривую ${x^2+y^2-2x+6y+6=0}$

Парабола

Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Сфера

Нарисуйте сферу $\displaystyle x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z+2=0.$

Непрерывность функций и точки разрыва

Рассмотрим функцию $H(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0,&\mbox{ при }x<0;\\ 1,&\mbox{ при }x\geqslant 0 \end{array}\right.$ (функция Хевисайда) на отрезке , .

Рассмотрим функцию $f(x)=\cos x-x$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ .

Пусть функция определена на интервале следующим образом: $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;... ...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\ 2,&\mbox{ если }x\in(3;4). \end{array}\right.$

Равномерная непрерывность

Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $\mathbb{R}$ .

Пусть функция $f(x)=\dfrac{1}{x}$ рассматривается на интервале .

Линейные пространства и преобразования

Постройте параболу $\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$ найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

Нарисуйте кривую ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.

Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Нарисуйте поверхность .

Производная

Пусть $f(x)=\vert x\vert$ и . Вычислим односторонние производные и

Рассмотрим линейную функцию

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Производная композиции

Пусть $y=\sin2x$ , то есть $y=\sin u$ , где : данная функция представлена в виде композиции функций $\sin u$ и .

Найдём производную функции $y=\cos^52x$ .

Сложение матриц и умножение на число

Пусть $A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&0\\ -5&1&3\end{array}\right)$ .

Символ суммирования

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции ${f(x){=}\arcsin x}$

Найдём производную гиперболического котангенса $\mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

Аналогично находится производная гиперболического косинуса ${y=\mathop{\rm ch}\nolimits x= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$

Умножение матриц

Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{rr} 3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения и .

Матрицы, Определители

Пусть ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$

Вычислите определитель матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\ -6&7&1&-1\end{array}\right)$

Ранг матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Пусть ${A=\left(\begin{array}{rrrr}1&2&-1&0\\ 3&4&-5&6\\ 5&-2&-3&-4\end{array}\right)}$

Пусть ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&6\\ 2&1&2\\ 3&4&8\end{array}\right)}$

Обратная матрица

Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$

Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Рассмотрим функцию $y=f(x)=\sin x$ .

Найдём вторую производную функции $f(x)=\sin^3x$

Производные функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между и задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $y''_{xx}$ через параметр .

Найдём вторую производную $y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной неявно

Возьмём то же уравнение $e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части

Правило Крамера

Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Производные и дифференциалы

Найдём производную функции

$y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$

$y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

$y=x^2e^{-2x}$

$y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

Зависимость между и задана формулой $\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную функции $y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$ .

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Функция имеет на отрезке точку минимума

Функция $f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке точку минимума

Правило Лопиталя

Найдём предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}$

Рассмотрим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}.$

Рассмотрим при $x\to\infty$ две бесконечно больших: $f(x)=x+\sin x$ и

Найдём предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$ .

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Найдите общее решение системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6=2,\\ 8x_2+4x_3-8x_4+13x_5+2x_6=14,\\ 6x_2+3x_3-6x_4+6x_5-x_6=18,\end{array}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2x_3-x_4=3,\\ 2x_1-x_2+3x_3+4x_4=-1,\\ 4x_1+x_2+7x_3+2x_4=6,\\ 5x_1-x_2+3x_3+2x_4=-3.\end{array}\right.$

Решите систему $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3-x_4=1,\\ 3x_1+2x_2-x_3+x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-3x_4=1,\\ 4x_1-2x_2-x_3-3x_4=2.\end{array}\right.$

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений: $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

Сравнение бесконечно больших величин

При $x\to+\infty$ рассмотрим функции () и ().

При $x\to+\infty$ рассмотрим функции $f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( ${\varepsilon}>0$ ) и $g(x)=\log_ax$ ().

Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

При ${x\to+\infty}$ величины ${f_1(x)=\sqrt{x}}$ , ${f_2(x)=x}$ , ${f_3(x)=x^3}$ , ${f_4(x)=x^3+\sin x}$ , ${f_5(x)=3x^3+x^2+1}$ , ${f_6(x)=x^4+1}$ -- бесконечно большие.

При $x\to+\infty$ рассмотрим функции () и ().

При $x\to+\infty$ рассмотрим функции $f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( ${\varepsilon}>0$ ) и $g(x)=\log_ax$ ().

Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$ $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Алгебраические структуры

Пусть множество $\mathfrak{G}$ состоит только из двух элементов.

Группы

Пусть $\mathfrak{G}$ -- множество целых чисел. В качестве операции $\propto$ возьмем операцию сложения чисел.

Пусть $\mathfrak{G}$ -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции " $\propto$ " возьмем операцию обычного умножения.

Множество $\mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией " $\propto$ " является группой

Кольца

Пусть $\mathcal{K}$ -- множество, содержащее элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., .

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим функцию $f(x)=xe^{x^2}$

Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$

Построение поля комплексных чисел

Пусть ${z_1=2-3i}$ , ${z_2=1+4i}$ .

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Изобразим на комплексной плоскости числа ${z_1=2+i}$ , ${z_2=3i}$ , ${z_3= -3+2i}$ , ${z_4=-1-i}$ ,

Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: ${z_1=-1+i}$ , ${z_2=4}$ , ${z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , ${z_4=5i}$ , ${z_5=-2-3i}$

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запишите в тригонометрической форме числа ${z_1=2+2i}$ , ${z_2=-i}$ , ${z_3=\sqrt3-i}$ , ${z_4=5}$ .

Вычислите , если .

Показательная форма комплексного числа

Пусть . Напишите показательную форму числа .

Извлечение корня из комплексного числа

Найдите корни уравнения ${z^4=-1}$ .

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Решите уравнение ${x^2+2x+5=0}$ .

Асимптоты графика функции

Рассмотрим функцию

$f(x)=\dfrac{1}{x-1}$

$f(x)=e^{\frac{1}{x}}$

$f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$

$f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$

$f(x)=\sin x+e^{-x}$

$f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$

$f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$

График функции $f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при вертикальной асимптоты

Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$

График функции