.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Линия с потерями. Телеграфное уравнение

Пусть отрезок двухпроводной линии единичной длины кроме индуктивности L и емкости С, имеет также сопротивление R и утечку G. Тогда для отрезка линии dx (рис. 5.7) приращение на­пряжения

,

а приращение тока

 

или

;  (5.12)

. (5.13)

Дифференцируя  (5.12) пo x и (5.13) пo , получаем:
; (5.14)

.  (5.15)

Подставив (5.15) и (5.13) в (5.14), получим из двух уравнений первого порядка одно уравнение второго порядка, называемое телеграфным уравнением:

  . (5.16)

Телеграфное уравнение упрощается, если для его коэффициен­тов выполняется условие Хевисайда

,  (5.17)

из которого следует, что

,  (5.18)

. (5.19)


 Рис. 5.7

Подставив (5.19) в (5.16), получим

Поделив на LC, придем к следующему уравнению:

 .

 Введя обозначение R/L = q получим

  . (5.20)

Введем новую переменную , положив . Най­дем производные:

 ;

 ;

 .

Подставив эти производные в (5.20), получим

 . (5.20а)

Следовательно, при выполнении условия Хевисайда телеграф­ное уравнение приводится к волновому уравнению. Это означает, что как и в линии без потерь, волна любой формы может распро­страняться без искажений. Отличие решения заключается лишь в том, что падающая и отраженная волны в линии с потерями за­тухают, так как  и  связаны множителем .

Запишем комплексы амплитудных значений тока и напряжений в виде мгновенных значений

[A];   [В];

  [В];  [В]; [В].

Изобразим эти переменные на временной плоскости

 



ЗАДАЧА 3.2

 


Дано: uab(t) = 10 sin(100t- 90° ) [B]; R = 1 [Ом]; L = 0,01 [Гн]; C = 0,01 [Ф]. 

Найти: неизвестные токи, напряжения, проверить соблюдение баланса мощностей.

Решение:

Представляем сопротивления элементов и мгновенные значения e(t), u(t), i(t) комплексными числами и рисуем схему замещения, заменяя элементы их комплексными сопротивлениями

  [Ом] ® ;

[Ом] ® -j1;

  uab(t) = 10 sin(100t- 90° ) [B] ® ;

 i(t) ® ; e(t) ® .

Решение с помощью закона Ома


Поскольку нам известно напряжение , найдем ток  на этом участке через сопротивление  

Учитывая, что , можно определить токи через R, C

  = /R=10e –j90°/1=10e –j90° ;

= /-jХC =10e –j90° /-j1= 10; -j1=e –j90°.


Зная ток   через ЭДС, можно определить ее величину

  = = .

Напряжение  также находится через ток на индуктивности

=×jХL =14,14e-j4574×j1= 14,14ej45° ; j1=e j90°.

Записываем мгновенные значения величин, не забывая о ранее опущенном операторе e j100t

i1(t) = Im[ ej100t ] = Im[14,14e-j45°ej100t] = 14,14 sin(100t- 45° ) [A];

 i2(t) = Im[ej100t ] = Im[10e-j90°ej100t] = 10sin(100t- 90° ) [A];

i3(t) = Im[ej100t ] = Im[10ej0ej100t] = 10 sin(100t ) [A];

uR(t) =uC(t) =uab(t)= Im[ej100t ]=Im[10e-j90°ej100t] =10 sin(100t- 90°) [B].

uL(t) = Im[ ej100t ] = Im[14,14ej45°ej100t] = 14,14 sin(100t+ 45° ) [B].

e(t) = Im[ej100t ] = Im[10ej100t] = 10 [B].

Векторную диаграмму предпочтительно

строить в такой последовательности:

- за базовый вектор принимают вектор

- вектор через R образует с вектором нулевой угол;

- вектор через С образует с вектором угол -90°

- вектор определяется геометрической суммой векторов ;

- вектор на L опережает вектор на 90°.

- если вектор перенести в конец вектора , то сумма этих векторов должна дать вектор

   


Из данного построения следует выполнение законов Кирхгофа для узла b и для контура к1 , что говорит о правильности решения. Масштаб: AB = 10[B] или 10[A].


На главную