.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Некоторые математические понятия и символы

С самого начала и на протяжении всего курса мы будем пользо­ваться некоторыми математическими символами и понятиями, не встречавшимися (или редко применявшимися) в школьном курсе физики. Дадим необходимые в этой связи пояснения.

ЗНАКИ МАЛОСТИ, НЕРАВЕНСТВА, ПРИБЛИЖЕННОГО РАВЕНСТВА И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Для обозначения малых величин (или малых изменений величин) принято ставить перед ними знак ∆. Например,  малая масса,   малый промежуток времени и т. д.

Помимо общеизвестных знаков неравенства > и < употребляют­ся знаки ≠ (не равно), >> (гораздо больше) и << (гораздо меньше). Например, масса Земли гораздо меньше относительно массасы Солнца.

Для обозначения приближенного равенства применяется знак » Например, радиус Земли .

Для выражения пропорциональной зависимости служит знак ~.

1.3.2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Наряду с десятичными логарифмами () применяются нату­ральные логарифмы (), основанием которых служит иррациональ­ное число . Переход от десятичного логарифма к нату­ральному совершается  по формуле .

1.3.3. АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ И ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ

Абсолютным значением величины называется ее значение, взятое с положительным знаком; условно обозначается посредством заклю­чения величины в прямые скобки. Если, например, напряжение , то абсолютное значение напряжения .

Порядком величины называется ближайшее к ее значению чис­ло, которое может быть выражено в виде 10га. Например, ускорение свободного падения имеет порядок , длина световой волны  имеет порядок  и т. п.

1.3.4. СИМВОЛИЧЕСКАЯ  ЗАПИСЬ СУММЫ

Сумму большого числа однородных величин

принято  записывать сокращенно с помощью знака  следующим образом:

  или ,

Стоящие при знаке суммы числа 1 и  (пределы суммирования) показывают, что надо складывать все  подряд, начиная с   и кон­чая .

1.3.5. СПОСОБЫ УСРЕДНЕНИЯ ВЕЛИЧИН

Существует несколько способов вычисления среднего значения величины по нескольким () отдельным ее значениям . Мы будем пользоваться:

  а) средним арифметическим значением величины называется сумма отдельных значений величины, деленная на их число:

  б) средним геометрическим значением величины называется корень пй степени из произведения п отдельных ее значений:

;

в) средним квадратичным значением величины называется квад­ратный корень из суммы квадратов отдельных значений величины, деленной на их число:

.

Результаты  усреднения, полученные этими способами, обычно мало отличаются один от другого (но все же ).

1.3.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Все физические величины подразделяются на две группы: ска­лярные (скаляры) и векторные  (векторы).

Скалярная величина полностью определяется числовым значе­нием. Скалярами являются, например, время, площадь, масса, ра­бота. Действия над скалярами  производятся по правилам алгебры, дифференциального и интегрального исчислений.

Векторная величина полностью определяется числовым значением и направлением.  Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. В отличие от скаляров  векторы обозначаются полужирными буквами или буквами со стрел­кой сверху. Например, вектор скорости,   вектор силы и т. п. Графически вектор изображают отрезком со стрелкой на конце. Длина отрезка соответствует (в произ­вольном масштабе) числовому значению вектора;  стрелка показывает направление вектора. На рис.1 изображен век­тор силы , числовое значение которого 3Н (ньютон). Векторы, имеющие  одинаковые модули и направления, равны между собой. Отсюда следует, что при параллельном переносе вектор не изменяется.

Два численно равных, но противоположно направленных вектора  и  называются противоположными. Для них

  или .

Классический метод расчёта.

При анализе цепей N-го порядка (K – индуктивных элементов и (N-K) – ёмкостных элементов) с источниками постоянной ЭДС расчёт производится по следующему алгоритму:

1) Определить значения токов через индуктивные элементы iLk(0–) и напряжений на ёмкостных элементах uCn(0–) в электрической цепи до коммутации (t<0), где k=1, 2,…K; n=1, 2,… (N-K). Статический режим до коммутации рассчитывают при соответствующем состоянии ключа, заменяя индуктивные элементы в цепи перемычками, а ёмкостные разрывами между точками их подключения.

2) Определить значения напряжений на индуктивных элементах uLk(0+) и токов через ёмкостные элементы цепи iCn(0+) непосредственно после коммутации (t=0+). Для этого индуктивные элементы цепи нужно заменить источниками тока со значениями JLk = iLk(0–), а ёмкостные элементы – источниками ЭДС со значениями ECn = – uCn(0–)

3) Определить значения токов через индуктивные элементы iLk(µ) и напряжений на ёмкостных элементах uCn(µ) в электрической цепи в установившемся режиме после коммутации (t=µ), выполнив замену элементов аналогичную п.1.

4) Составить характеристическое уравнение и определить его корни. Для этого нужно разорвать любую ветвь электрической цепи в послекоммутационном состоянии и определить комплексное сопротивление относительно точек разрыва. При этом нужно заменить источники ЭДС и тока их эквивалентными сопротивлениями, т.е. заменить источники ЭДС перемычкой, а источники тока разрывом между точками подключения. После чего, заменить в выражении комплексного сопротивления произведения jw на p и, приравняв полученное выражение нулю, решить уравнение относительно p.

5) Представить мгновенные значения токов через индуктивные элементы и напряжений на ёмкостных элементах в виде

iLk(t)=iLk(µ)+A1×ep1×t+…+AN×epN×t, uCn(t)=uCn(µ)+B1×ep1×t+…+BN×epN×t, если все корни характеристического уравнения вещественные и разные;

iLk(t)=iLk(µ)+(A1×t+A2)×ed×t+…+AN×epN×t,  uCn(t)=uCn(µ)+(B1×t+B2)×ed×t +…+ BN×epN×t, если среди корней характеристического уравнения есть пара одинаковых р1=р2=d;

iLk(t)=iLk(µ)+[A1×sin(w×t)+A2×cos(w×t)]×ed×t+…+AN×epN×t,

uCn(t)=uCn(µ)+[A1×sin(w×t)+A2×cos(w×t)]×ed×t+…+ BN×epN×t, если среди корней есть пара комплексно-сопряженных р1,2=d±j×w.

6) Составить систему из N уравнений Кирхгофа для состояния цепи в момент времени t=0+ и определить постоянные интегрирования А1,…AN, В1,…BN. с учётом значений, полученных в п.2:  и .

7) С помощью законов Ома и Кирхгофа определить, если требуется, остальные токи и напряжения в цепи.

Примеры рассмотрены в задачах 2.1 и 2.2.


На главную