.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1) равно  (Е постоянная ЭДС).

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае

  . (8.2)

Решением однородного уравнения является показательная функция вида .

Для всех переходных процессов условимся, что момент t = 0 соответствует моменту коммутации.

Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода дадим их значения для рассматриваемого примера:  и . Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:

  . (8.3)

где   частное решение неоднородного уравнения (8.1);   общее решение однородного уравнения (8.2). Подстановка (8.3) в (8.1) дает тождество

  .

Следовательно, (8.3) действительно является решением уравнения (8.1).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (напряжения), а полное решение однородного уравнения свободной составляющей. Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока , а свободная  составляющая . Полный ток .

Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответствующие номерам ветвей на схеме.

Принужденная, составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты , то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты .

Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода. Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток .

Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения па индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону .

Так, в рассмотренном примере . С увеличением времени t множитель  быстро уменьшается. Название «свободная» объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном процессе Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.

Анализ переходных процессов в линейных цепях

Расчет переходных процессов классическим методом происходит в следующем порядке:

  1) составляется система интегрально дифференциальных уравнений по Кирхгофу;

  2) из системы путем преобразований выделяется одно уравнение относительно одного неизвестного;

 3) отыскивается решение такого уравнения в виде

  , (8.4)

где  установившийся режим; рк корни характеристического уравнения; Ак определятся на основе знания начальных энергетических состояний всех п накопителей.

Классическим методом решают задачи анализа переходных процессов в схемах с одним и двумя накопителями в основном изза трудностей с поиском постоянных интегрирования, который плохо формализуется. Однако именно схемы с однимдвумя накопителями представляют наибольший интерес, так как понимание и знание характера переходных процессов в таких схемах дает возможность оценивать броски токов и напряжений, а также характер колебательных процессов во многих значимых для практики случаях. Далее будут детально рассмотрены именно такие задачи и сделаны некоторые обобщения.

Метод свертывания

Согласно методу свертывания, сложная электрическая схема поэтапно упрощается путем замены ее участков последовательно и параллельно соединенных сопротивлений соответствующими эквивалентными сопротивлениями. В результате преобразования получают схему с одним эквивалентным сопротивлением, подключенным к клеммам источника. Рассчитывается ток, протекающий в преобразованной схеме через эквивалентное сопротивление, а затем возвращаются поэтапно к исходной схеме, определяя токи, протекающие через ее элементы.

Задача 1. Определите напряжение на участке АВ в цепи, показанной на рисунке, если R1=R3 = R4 = R6 = 1 Ом, R2 = R5 = 4 Ом. Напряжение источника U=4,4 В.

Решение. Из анализа схемы следует, что резисторы R4, R5 и R6 соединены последовательно и эквивалентное сопротивление этого участка цепи

  R’=R4+R5+R6=6Ом.

Изобразим эквивалентную схему.

Как видно из рисунка, в новой схеме резисторы R2 и R’ соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление этого участка схемы =2,4 Ом. Заменив участок параллельно соединенных резисторов – одним, получим конечную схему. К клеммам источника подключен  резистор Re = R1+Rab+R3 = 4,4 Ом.

Ток протекающий в такой цепи = 1А.

Напряжение на участке ab = 2,4 В. Тогда ток, протекающий по участку АВ = 0,4 А. Для нахождения напряжения на участке АВ = 1,6 В.

Задача 2. Из одинаковых проводников, сопротивлением R каждый, собрана электрическая цепь, показанная на рисунке. Найдите сопротивление цепи между точками А и В.

Решение. Рассматриваемая электрическая цепь симметрична относительно прямой АВ, следовательно, потенциалы точек С и D одинаковы (рис.1). Исключая проводники, включенные между этими точкам цепи, получим эквивалентную схему рис.2. Расчет цепи рис.2 проводится методом свертывания.

RAB = .


На главную