.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Интеграл Дюамеля

Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов

 Познокомимся с методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях расчетом с помощью интеграла Дюамеля. При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим , а под  попрежному будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи.

Любое напряжение или ток можно представить в виде бесконечной суммы ступенок, как это показоно на рис. 8.15. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени  подключается напряжение (рис. 8.15).

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения  и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение и (0) в момент времени t вызовет в цепи ток , где  переходная проводимость. В момент времени  (рис. 8.15) возникает скачок напряжения

 

 

 Рис. 8.15

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения , необходимо и' умножить на значение переходной проводи мости с у четом времени действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.15, видно, что это время  равно . Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет  .

Полный ток в момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току: .

Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени  на бесконечно малый  и перейдем от суммы к интегралу:

 . (8.5)

Формулу (8.5) называют интегралом Дюамеля.

Приведем еще пять форм записи интеграла Дюамеля.

1. Интеграл в (8.5) возьмем по частям:

 ; ; ;

 

Подставив результат в (8.5), получим

  . (8.5а)

2. Для любых двух функций  и  путем замены переменных можно доказать справедливость следующего соотношения:

 . (а) 

Распространив это соотношение на (8.5) и (8.5а), получим еще две формы записи интеграла Дюамеля:

 ; (8.5б)

 . (8.5в)

3. Имея в виду формулу дифференцирования  определенного интеграла по параметру

  (б)

и учитывая соотношение (а), получим еще две формы записи интеграла Дюамеля:

 ; (8.5г)

 . (8.5д)

Два последних соотношения имеют непосредственное отношение к теореме свертки операторного метода: если  и , то

 ;

 .

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формулу вместо переходной проводимости  будет входить переходная функция , если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление , если на входе цепи действует источник тока.

Катушка индуктивности характеризуется значением индуктивности L, которую измеряют в генри (Гн). Изменение тока через катушку вызывает наведение на выводах катушки электродвижущей  силы eL, которая противодействует изменению тока, пытается сохранить неизменным  ток через катушку. 

 Рис.3.2.2. Катушки индуктивности

Индуктивность катушки пропорциональна линейным размерам катушки, магнитной проницаемости сердечника и квадрату числа витков намотки.

 L = \mu_0 \cdot \mu_i \cdot s_e \cdot N^2 / l_e  ,

где:

μ0 - магнитная постоянная;

μi - магнитная проницаемость материала сердечника (зависит от частоты);

se - площадь сечения сердечника;

le - длина средней линии сердечника;

N - число витков.

При последовательном соединении катушек общая индуктивность равна сумме индуктивностей всех соединённых катушек:

L = \sum_{i=1}^N L_i .

При параллельном соединении катушек общая индуктивность равна:

L = \frac{1}{\sum_{i=1}^N 1/L_i} .


На главную