.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Градиент физической величины

Известно, что скаляр характеризуется численной величиной, отнесенной к координатным точкам скалярного ноля. Классический пример скаляра потенциал. Вблизи источника поля потенциал велик, а по мере удаления от него убывает, стремясь к нулю. Если некоторая физическая величина имеет в каждой точке про­странства определенное (иное, чем в других точках) значение, то говорят, что эта величина распределена в пространстве. Интенсивность изменения потенциала, как и других скалярных величин, удобно определять его градиентом () степенью максимального увеличения скалярной величины вдоль направления, перпендикулярного к уровенным поверхностям. Под уровенными поверхностями следует понимать поверхности с одним и тем же значением скаляра; они как бы охватывают источники поля. Придавая уровенным поверхностям различные значения скаляра, можно получить набор, семейство поверхностей уровня, на каждой из которых скаляр принимает постоянное значение (рис. 5). Семейство уровенных поверхностей в некоторой степени наглядно характеризует скалярное поле. Места сближения изоповерхностей указывают на быстрое изменение здесь функции  в поперечном направлении. Изоповерхности для однозначного поля не пересекаются, ибо в этом случае в точках пересечения функция  имела бы несколько значений, что невозможно.

 Градиент наиболее существенная дифференциальная характеристика скалярного поля. Математически градиент выражается формулой

,

где единичная нормаль.

Градиентом физической величины называется отношение ее изме­нения к расстоянию, на котором оно осуществляется, взятом в направлении наибольшего возрастания физической величины.

  Градиент величина векторная, так как определяется не только численным значением, отнесенным к точке поля, но и направлением (рис. 6). По абсолютной величине градиент потенциала равен напряженности поля; направлен же он противоположно. Более строго градиент может быть представлен формулой

.

Следовательно, градиент есть вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания физической  величины.

 Значение градиента существенно зависит от направления , и его нельзя смешивать с обыкновенной частной производной скалярной функции  по произвольному направлению . Эта производная является лишь проекцией  на направление .

Поскольку вектор может быть описан тремя компонентами, то, например, в декартовой системе координат

,

т.е.

,

  Рис. 5 Рис.

6

Рис. 5 поверхности уровня скалярного поля, рис. 6определение градиента скалярной функции (направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания)

так как  и т. д., где i, j и k единичные векторы

вдоль координатных осей х, у, z, а . Далее можно записать:

здесь знаком набла обозначена пространственная производная символический  дифференциальный оператор Гамильтона.

Абсолютная величина градиента рассчитывается как

.

 Составляющая градиента по любому направлению  может быть выражена его проекцией на это направление:

.

ЗАДАЧА 2.1

Решение:

1) Цепь при t<0

2) Цепь при t=0+


3) Цепь при t=¥

4) Составляем и решаем характеристическое уравнение

В цепях первого порядка величина t=1/|p| носит название постоянной времени цепи.

5) Записываем мгновенное значение напряжения емкостного элемента в общем виде uC(t)=uC(µ)+B×ep×t=80+B×e–125×t.

6) Определяем постоянную интегрирования.

Напряжение uC(t) в момент коммутации (t=0+) будет uC(0+)=80+В или с учетом uC(0+)=uC(0–)=90 получаем 90=80+В. Тогда В=10 и uC(t)=80+10×e–125×t.

7) Полученное в п.6 соотношение дает возможность определить остальные токи и напряжения:

iC(t)=C×duC/dt=10–3×(–125×10×e–125×t)=–1,25×e–125×t [A];

uR2(t)=uC(t)=80+10×e–125×t [В];

iR2(t)=uR2(t)/R2=(80+10×e–125×t)/40=2+0,25×e–125×t [А];

i(t)=iC(t)+iR2(t)= –1,25×e–125×t+2+0,25×e–125×t=2–1×e–125×t [А];

uR1(t)=R1×i(t)=10×(2–1×e–125×t)=20–10×e–125×t [В].

Ответ: i(t)=2–1×e–125×t [А]; u(t)=80+10×e–125×t [В].


На главную