.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Дивергенция вектора

Это понятие тесно связано с потоком вектора через замкнутую поверхность, который является количественной характеристикой поля. Действительно, если нормальную компоненту вектора выразить через число силовых линий, отнесенных к пересекаемой ею нормальной площадке dS,

,

то весь поток силовых линий, поток вектора можно найти из уравнения

. Расчет потока вектора через грани куба, ограничивающие объем , помещенный в начале координат декартовой системы, позволяет определить дивергенцию вектора (рис. 8):

  Рис.8

;

,

где , ,  значения компонент вектора на противоположных гранях куба, а выражения типа   приращения этих компонент вдоль соответствующих осей.

Следовательно,

.

  Выражение, содержащееся в скобках, и получило название дивергенции вектора . Таким образом,

.

  Судя по этому выражению, дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока. Дивергенция более универсальная величина, чем поток, однозначно характеризующая поле; с потоком она соотносится так же, как напряженность с силой.

Определяя весь поток через дивергенцию, получим

;  (4)

формула (4) выражает теорему Остроградского Гаусса.

 Если поверхность dS так мала, что во всех лежащих внутри нее точках дивергенция вектора считается постоянной, то  можно вынести за знак интеграла:

.

  Так как эта формула справедлива лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, ее правильнее записать в следующей форме:

.

  Таким образом, дивергенция вектора  в данной точке поля есть предел, к которому стремится отношение потока вектора  через произвольную, включающую эту точку поверхность к объему , ограниченному этой поверхностью (при ). Из этого определения дивергенции следует, что значение ее не зависит от выбора системы координат, т. е. дивергенция вектора является скаляром.

Математически это подтверждается следующим образом:

.

  Полученное выражение это скалярное произведение двух векторов  и . Снова имеем пространственную производную, но на этот раз не от скаляра, а от вектора. Таким образом, дивергенция является характеристикой полей векторных. Термин «дивергенция» переводится как расхождение или расходимость. Поле растекается, расходится из тех и только тех точек пространства, в которых . Очевидно, в этих точках должны быть расположены источники поля. Численная величина дивергенции называется силой или обильностью истоков поля. Отрицательным значениям   иногда дают название стоков поля.

РОТОР ВЕКТОРА

Наряду с дивергенцией вектора большое значение имеет другая дифференциальная характеристика векторного поля ротор вектора ), или вихрь вектора .

 Ротор вектора определяется работой вектора , совершаемой по замкнутому контуру и отнесенной к охватываемой контуром площадке. Такого вида работа получила название циркуляции вектора:

.

  Пусть элементарный контур расположен произвольно относительно координатной системы Декарта. Тогда его можно спроектировать на все три плоскости системы: хОу, xOz, yOz; вычислив

 Рис. 9. Определение составляющей циркуляции вектора .

циркуляцию компонент ,  и  по этим контурам, получим . Для примера можно рассчитать (рис. 9 и 10) в правой системе координат, обходя контур против часовой стрелки и считая его малым и прямоугольным (со сторонами dy и dz). Итак,

Соответственно,

; .


Правомерность этих выражений следует из рис.9, на котором показано направление правовинтового обхода каждой проекции контура; здесь же приведены  соответствующие компоненты вектора.


 Рис. 10 Рис. 11

Рис. 10. Пространственный  расчет : выбор направления обхода контура в разных координатных плоскостях. Рис. 11. Определение  в точке.

Если dx = dy = dz, то

,

где ,  и .

С другой стороны,

.

Полученное уравнение выражает теорему Стокса.

 Так формально, на первый взгляд, довольно сложную пространственную производную заменяют одним символом (rot). Физический смысл ротора, однако, очевиден. При малых dS нормальную компоненту ротора  во всех ее точках можно считать постоянной и поэтому в предельном случае

.

  Таким образом, проекция ротора на нормаль  в данной точке поля равна пределу отношения циркуляции вектора  по контуру  произвольной площадки, проходящей через эту точку, к поверхности этой площадки  (рис. 11). По существу  это приведенная работа вектора , универсально характеризующая каждую точку пространства, занятого полем. Наличие точки приложения ротора, численной величины и строго определенного его направления свидетельствует о векторном характере . Это подтверждается тем обстоятельством, что

,

т. е. ротор является векторным произведением двух векторов и , что нетрудно проверить, выполнив эту операцию;   может быть представлен в форме следующего символического определителя:

,

где , ,  единичные векторы (орты) по осям координат х, у, z. Вектор  и скаляр  наряду с градиентом скаляра , представляя собой пространственные производные  и , являются основными понятиями векторного анализа.

ЗАДАЧА 2.3

Решение:

1) Цепь при t<0


2) Составим операторную схему замещения

3) Определим IL(p) методом эквивалентных преобразований.

Заменим параллельное соединение (Е, R1)||(EC, R2,1/Ср) на эквивалентное

Согласно закону Ома изображение искомого тока будет определяться как

4) Осуществим обратное преобразование Лапласа по формуле разложения, для этого определим корни полинома знаменателя :

p1=0; p2,3 = –d±jw = -59,5±j210.

Тогда ; ;

.

Отсюда  

Ответ: .


На главную