.
Электротехника и электроника Классификация электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры Трехфазный ток асинхронный двигатель Усилители постоянного тока

Физика решение задач

Некоторые вторые производные

Как и в случае образования градиента, дивергенции и ротора

, , ,

оператор Гамильтона  позволяет выполнять другие, более сложные операции пространственного дифференцирования:

;

данная формула выражает оператор Лапласа лапласиан, который получен путем скалярного умножения двух операторов Гамильтона. Аналогично,

;

;

.

  В равенстве нулю  и  можно убедиться в результате непосредственного вычисления, хотя очевидность отсутствия вихря градиента и расхождения, растечения замкнутого на себя вихря неоспорима. Это можно доказать при помощи последовательного применения теорем Остроградского Гаусса и Стокса

,

так как циркуляция (работа!), производимая вектором  по замкнутому контуру, не охватывающему источник поля, тождественно равна нулю.

Очень важной в теории поля является производная

в соответствии с правилами векторной алгебры [b [ba]] = b (ba) (bb)a. Иначе это соотношение записывается так:

; (5)

следует отметить, что

;

второй член правой части этого выражения является вектором,

слагающая которого,  например по оси х, равна

.

Рис. 11. Графическое доказательство выражения ;

 Доказать справедливость соотношения (5) можно как численно, так и графически. Пусть векторы  и  лежат в одной плоскости; так как , то по направлению выражения совпадает с .  По той же причине  содержит в себе произвольно взятый отрезок . С другой стороны, векторное произведение

будет представлено вектором перпендикулярным к плоскости , а вектор

снова расположится в плоскости  перпендикулярно к вектору . Таким образом, разность векторов

 

г. е. формула

справедлива (рис. 11).

 В дальнейшем придется прибегать и к операциям пространственного дифференцирования над произведениями скалярных и векторных величин. Они напоминают линейное дифференцирование, но знак d заменяется на символ . Следует иметь в виду также, что при воздействии оператора  на скаляр  образуется ; векторное произведение  дает , а скалярное . Это отражено в приводимых ниже формулах:

  или ;

  или ;

  или ;

и т. д.

 Эти формулы могут быть получены как непосредственным вычислением, так и из векторной алгебры.

Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока

Методические рекомендации по выполнению задания

1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени

 

где Аm - максимальное значение или амплитуда; (wt+ya) - фаза (фазовый угол); ya - начальная фаза (начальный фазовый угол); w - угловая частота [рад/c].

Период T [c] , угловая частота w и частота f [Гц] связаны соотношением

 ;

По приведенному уравнению можно построить синусоиду и соответствующую векторную диаграмму, которая получается с учетом того, что мгновенные значения а – это проекция вращающегося вектора Аm на ось мнимых чисел.

Аналитически этот вращающийся вектор записывается как

Аm e jya e jwt

 


 Амплитуда Оператор поворота Оператор вращения с

 на угол ya угловой частотой w

Обозначим , где - комплексное амплитудное значение.

Таким образом, а(t)=Аm sin(wt + yа) = Im[ e jwt].

  ­ операция выделения мнимой

 части комплексного числа.

Метод представления синусоидальных функций времени изображениями в виде векторов на комплексной плоскости называется символическим методом или методом комплексных амплитуд.

При необходимости можно оперировать комплексным действующим значением   с учетом того, что действующее значение .


На главную