Курс инженерной графики и начертательной геометрии технического университета

Сопромат
Расчет валов
Построить эпюры
Задачи сопромата
Начертательная геометрия
ЕСКД
Сопряжение
Примеры
Черчение
Оформление чертежей
Выполнение чертежей
Практикум
Инженерная графика
Лекции
Карта сайта
На главную

Лабораторные работы и расчеты по сопромату

 Задачи по сопротивлению материалов

 В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем разделе собраны типичные задачи по различным видам простого и сложного сопротивления отдельного бруса.

 Изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления материалов. Расчетные формулы даны без выводов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.

 Задачам по каждой теме предшествует иллюстративное решение типовых задач с методическими указаниями. Все остальные задачи снабжены ответами.

Растяжение, сжатие

 В этой главе, в основном, будет рассматриваться брус. Брус – это тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса – это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений.

  Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров – угловой деформацией. Удлинение – это увеличение линейных размеров тела, а укорочение – уменьшение линейных размеров тела.

 Пусть прямой брус длиной l заделан одним концом, а на другом конце приложена внешняя сосредоточенная сила F. Под действием этой силы брус удлинится на величину , которая называется полным (абсолютным) удлинением, тогда

   (1.1)

где – относительная продольная деформация.

 Перемещение точки – расстояние между первоначальным положением точки (до приложения внешних нагрузок) и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении, например, вдоль оси стержня.

 Центральное растяжение (сжатие) – это такой случай напряженного состояния, когда в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N.

  На основании гипотезы плоских сечений все продольные волокна стержня испытывают одинаковые удлинения или укорочения. Следовательно, при растяжении и сжатии нормальные напряжения  распределены равномерно по поперечному сечению стержня, поэтому

  (1.2)

где А –площадь поперечного сечения стержня.

 Зависимость между нормальным напряжением  и относительной деформацией   в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид (закон Гука):

  (1.3)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга).

 Пользуясь законом Гука (1.3), можно вычислить абсолютное удлинение  стержня при действии нормальной силы N (рис. 1.1, а):

  (1.4)

при учете только действия собственного веса стержня (рис. 1.1, б):

  (1.5)

где – объемный вес материала стержня.


Рис. 1.1

 Если по длине стержня l нормальная сила N(x) и площадь сечения A(x) переменны и изменяются по какому-либо непрерывному закону, то удлинение  определяется по формуле

   (1.6)

Пример расчёта вала (задача № 4)

 Стальной валик жёстко защемлен на левом конце. На валик действуют две пары сил 2М и М.

 Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов.

Определить моменты сопротивления при кручении для сечений I, II и III и по наиболее опасному сечению найти допускаемую величину момента М.

Построить эпюры распределения касательных напряжений в сечениях I, II, III, отметив на сечениях опасные точки.

Построить эпюру углов закручивания.

Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 8×104МПа.

Исходные данные: а = 0.6м, с = 1.1м, D = 100мм, d/D = 0.8, Rcp = 110МПа.

 

Решение

п.1. Построение эпюры крутящих моментов

 Разобьём валик на два расчётных участка АВ и ВД и применим метод сечений для каждого расчётного участка валика.

  Рассматриваем участок ВД (сечение I-I). Отбрасываем левую часть валика и рассматриваем равновесие правой части. Уравнение равновесия для участка ВД:

 Σmz = 0. М + Мкр = 0, Мкр = - М = const.

 Крутящий момент на участке ВД постоянен по длине участка и закручивает валик против хода часовой стрелки.

 Рассматриваем участок АВ (сечение II-II). Уравнение равновесия

Мкр – 2М + М = 0, Мкр = М = const.

Крутящий момент на участке АВ также постоянен по длине участка и закручивает валик по ходу часовой стрелки.

 По результатам расчёта строим эпюру крутящих моментов.

п.2. Определение моментов сопротивления сечения кручению

Сечение I, Wк = , где k1 = 0.208 для квадратного сечения, h=b=0,8D

  Wк = 0.208(0.8×10)3 = 106.5см3 =106,5×10-6 м3.

 Сечение II.  =  196 см3=196×10-6 м3.

 Сечение III , ,

 115,7см3=115,7×10-6 м3

Определение допускаемой величины момента М

Определение максимальных касательных напряжений в сечениях валика.

В сечении I 

В сечении II.  

В сечении III. 

 Сравнивая величины вычисленных напряжений, отмечаем, что наибольшие касательные напряжения возникают в сечении I.

По условию прочности вала  определяем величину допустимого момента 


К оглавлению раздела Лаборотоные по сопромату