Курс инженерной графики и начертательной геометрии технического университета

Сопромат
Расчет валов
Построить эпюры
Задачи сопромата
Начертательная геометрия
ЕСКД
Сопряжение
Примеры
Черчение
Оформление чертежей
Выполнение чертежей
Практикум
Инженерная графика
Лекции
Карта сайта
На главную

Лабораторные работы и расчеты по сопромату

У к а з а н и я

 1. В том случае, когда направление нормальной силы заранее неизвестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия нормальная сила получится со знаком «плюс», то брус испытывает растяжение, со знаком «минус» – сжатие.

 2. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила F, направленная вдоль оси стержня, то значение нормальной силы на эпюре нормальных сил N в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы.

1.1. Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев в статически определимых задачах

 Задача 1.1.1. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис. 1.1.1. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

  Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем прямолинейный брус на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и точкам приложения сосредоточенных сил. Из рассмотрения рис. 1.1.1, а определяем, что брус необходимо разбить на четыре участка.

 Проводим сечение I – I. Отбросим верхнюю часть бруса, ее действие заменим нормальной силой N1 (рис. 1.1.1, б). Запишем уравнение равновесия, проектируя силы на ось бруса:

 откуда N1 = F.

  Очевидно, что на всем первом участке () нормальная сила N1 постоянна по величине. Откладываем в масштабе значение нормальной силы N1 = F в пределах участка I – I (рис. 1.1.1, е).

 Проводим сечение II – II и, отбрасывая верхнюю часть бруса, заменяем ее действие нормальной силой N2 (рис. 1.1.1, в). Проектируем все силы на ось бруса:

 откуда N2 = –F.


Рис. 1.1.1

 Аналогично находим нормальные силы в сечении III – III (рис. 1.1.1, г):

  откуда N3 = –F

и в сечении IV – IV (рис. 1.1.1, д):

  откуда N4 = 0.

 Откладывая в масштабе значения нормальных сил N2, N3, N4 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис.1.1.1,е). Полученную таким путем эпюру принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а знак «минус» – сжатие.

 Для построения эпюры нормальных напряжений  воспользуемся формулой (1.2) для каждого участка:

 Эпюра нормальных напряжений (рис. 1.1.1, ж) показывает, что наибольшего значения нормальные напряжения достигают в пределах третьего участка (участок III).

ИЗГИБ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

Виды изгиба стержней

 Одним из самых распространённых видов нагружения стержней является изгиб. Плоским изгибом называется такой случай нагружения стержня, когда все нагрузки и опорные реакции направлены перпендикулярно оси стержня и лежат в одной его главной плоскости инерции. При изгибе стержни деформируются, т.е. меняют свою форму, так, что его продольная ось и волокна искривляются. Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называются балками. Балка под действием этих пар моментов деформируется, вертикальные прямые линии по высоте балки остаются прямыми, но вверху балки расстояния между прямыми линиями уменьшилось, а внизу – увеличилось. То есть, верхние волокна балки укоротились, а нижние – удлинились. Таким образом, при изгибе часть волокон балки по её высоте испытывают растяжение, а другая часть волокон – сжатие.

 В зависимости от вида нагрузки, действующей на балку, возникают различные виды изгиба. Если в поперечном сечении балки при её изгибе возникает только изгибающий момент, а другие внутренние силовые факторы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым. Если же в поперечном сечении балки при её изгибе возникают изгибающий момент и поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным изгибом.

 

Типы балок и опорных связей. Определение опорных реакций

 Балка опирается на основание (фундамент, стены и т.п.) через опорные связи (опоры). На практике в большинстве случаев используются следующие виды опор. Здесь рассматриваются только опоры, все реакции которых лежат в одной плоскости. Виды опор:

 1-й вид - шарнирно-подвижная опора, имеющая одну связь, по направлению которой запрещено линейное перемещение балки.

 Эта связь препятствует перемещению вдоль опорного стержня, но позволяет линейное перемещение в направлении, перпендикулярном направлению стержня опоры и поворот сечения балки относительно верхнего шарнира опоры. Реакция такой опоры V направлена вдоль опорного стержня. 

 2-й вид - шарнирно-неподвижная опора, имеющая две связи, запрещающие линейные перемещения балки по двум взаимно перпендикулярным направлениям и позволяющие поворот балки относительно верхнего шарнира опоры. В такой опоре возникают две составляющие опорной реакции V и H. То есть считается, что эта опора имеет две реакции. 

 3-й вид - заделка (запайка). Эта опора запрещает как линейные, так и угловое перемещение балки. Считается, что данная опора имеет три реакции: V, H и M (реактивный момент в заделке).

 Типы балок определяются по способу закрепления их к основанию. Шарнирная балка может иметь левую консоль или же две консоли, то есть, как слева, так и справа.

 Для определения внутренних сил в изгибаемой балке используется метод сечений. Но для этого необходимо знать все действующие на балку силы. При этом мы рассматриваем случай, когда на балку действует произвольная система сил, лежащих в одной плоскости. Внешняя нагрузка, действующая на балку, как правило, задаётся, а неизвестными являются опорные реакции. Для определения опорных реакций используются уравнения равновесия статики. При выборе осей координат для плоской системы сил можно использовать следующие варианты систем уравнений равновесия балки:

1-й вариант ΣZ = 0; ΣY = 0; ΣmA = 0; 

2-й вариант ΣZ = 0; ΣmA = 0; ΣmB = 0;

Здесь ΣZ; ΣY – суммы проекций всех сил, действующих на балку, соответственно, на координатные оси z и y, Σm – сумма моментов всех сил относительно любой выбранной точки.

Внутренние силы при изгибе

 Как было отмечено ранее, для определения внутренних сил в изгибаемой балке используется метод сечений. Рассмотрим двухопорную шарнирную балку, имеющую левую консоль. На балку действуют внешний изгибающий сосредоточенный момент m, сосредоточенная сила P и равномерно распределённая нагрузка q. Рассечём балку в произвольном сечении плоскостью, перпендикулярной продольной оси балки (разрез 2-2, отбросим одну часть балки и рассмотрим равновесие оставшейся части. Рассмотрим, например, равновесие левой части балки. Для того, чтобы уравновесить внешнюю нагрузку, действующую на оставшуюся часть балки, в сечении 2-2 возникают внутренние силы – действие отброшенной части балки на оставшиеся. Этими внутренними силами будут изгибающий момент MX и поперечная сила QY. Продольная сила NZ в сечении 2-2 равна нулю, так как все внешние силы, действующие на балку, перпендикулярны направлению продольной оси балки. Для внутренних сил MX и QY устанавливается следующее правило знаков.

Изгибающий момент MX считается положительным, если действие его вызывает растяжение нижних волокон балки. Поперечная сила QY считается положительной, если действие её вызывает поворот оставшейся части балки

по ходу часовой стрелки, относительно ближайшей точки на оси этой части.

  Составим два уравнения равновесия для рассматриваемой части балки и решим их.

Σm0 = 0; ; ;

ΣY = 0; ; .

Здесь 0 – центр тяжести поперечного сечения.

  Из решения этих уравнений получаем аналитические выражения для изгибающего момента  и поперечной силы как функции от z.

 Аналогично можно рассмотреть равновесие правой части балки, отбрасывая левую часть. Следует обратить внимание на направления внутренних сил ( и ), приложенных к этой части балки. Направление действия этих сил прямо противоположно направлению действия их на левую часть балки. 

  Дифференциальные зависимости между Mx, Qy и q

 Между изгибающим моментом Mx, поперечной силой Q у и внешней распределённой нагрузкой q существуют определённые зависимости. Рассмотрим консольную балку. Вырежем из этой балки на участке, загруженном равномерно распределённой нагрузкой q, элемент длиной dz. В сечениях этого элемента балки приложим внутренние силы. Составим уравнения равновесия этого элемента балки:

  Σmo = - (MX + dMX ) + 0.5QYdz + 0.5(Qy + dQY )dz + MX = 0;

 ΣΥ = qdz +QY – (QY + dQY) = 0.

 Из первого уравнения, пренебрегая слагаемым второго порядка малости dQYdz, получаем  То есть, функция поперечной силы является первой производной функции изгибающего момента по длине балки.

 Из второго уравнения имеем   Распределённая нагрузка – это первая производная функции поперечной силы по длине балки. При этом q считается положительной, если направлена вверх.

 Имея две дифференциальные зависимости, получаем третью


К оглавлению раздела Лаборотоные по сопромату