Курс инженерной графики и начертательной геометрии технического университета

Сопромат
Расчет валов
Построить эпюры
Задачи сопромата
Начертательная геометрия
ЕСКД
Сопряжение
Примеры
Черчение
Оформление чертежей
Выполнение чертежей
Практикум
Инженерная графика
Лекции
Карта сайта
На главную

Лабораторные работы и расчеты по сопромату

Осевые моменты инерции плоских сечений простой формы

  Осевым моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

  (2.2.1)

где х – расстояние от элементарной площадки dA до оси у; у – расстояние от элементарной площадки dA до оси х (рис. 2.1.1).

 Полярным моментом инерции плоского сечения относительно некоторой точки (полюса) О называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

  (2.2.2)

 Сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей:

  . (2.2.3)

 Центробежным моментом инерции плоского сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей х и у называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния от этих осей, т.е.

  (2.2.4)

 Центробежный момент инерции плоского поперечного сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

 Осевые и центробежные моменты инерции плоского сечения относительно произвольных осей х1 и у1, параллельных центральным осям х и у, определяют по формулам:

  (2.2.5)

  (2.2.6)

где a, b – расстояния между осями х и х1, у и у1 показаны на рис. 2.1.2. Принимается, что х, у – центральные оси, т.е. оси, проходящие через центр тяжести О плоского сечения.

При повороте центральных осей х, у на угол α моменты инерции можно определить из выражений

 

   (2.2.7)

 (2.2.8)

где положительное направление угла α показано на рис. 2.2.1.

 

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол(рис. 2.2.1), т.е.

  (2.2.9)

 Максимальные и минимальные значения осевых моментов инерции поперечного сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны и, следовательно, из формулы (2.2.9) имеем

  (2.2.10)

 Величину главных моментов инерции определяют по формуле:

  (2.2.11)

а главные оси инерции можно построить, повернув центральные оси х, у на угол α (рис. 2.2.1):

  (2.2.12) 

Задача № 10

 Эта задача относится к общему случаю расчета пространственных брусьев с ломаной осью, имеющих шесть опорных закреплений.

Пример

Для вертикальных и горизонтальных элементов в сечениях пространственного ломаного бруса от действия силы F определить нормальные напряжения от совокупности внутренних усилий и касательные напряжения от кручения , а также указать опасные точки сечения, показать напряженное состояние и найти в них расчетные напряжения, указав принятую теорию прочности. Напряжениями от  и  можно пренебречь.

Решение

 1. Определение опорных реакций

 Выберем глобальную систему координат XYZ. Отбросим опорные стержни, и заменим их действие неизвестными опорными реакциями. Для определения шести опорных реакций составим шесть уравнений равновесия: три уравнения проекций и три уравнения моментов относительно произвольно выбранных осей. При этом оси желательно выбирать так, чтобы в каждое уравнение входило не более одной неизвестной из опорных реакций.

 В нашем примере:

а) из уравнения проекций на ось y:

  кН;

б) из уравнения моментов относительно линии - проекции участка стержня на плоскость XY:

  кН;

в) на уравнения моментов относительно вертикальной оси , проходящей через опору А:

   кН;

г) из уравнения моментов относительно вертикальной оси , проходящей через точку :

  кН;

д) из уравнения моментов относительно оси СD:

  кН;

е) из уравнения проекций на ось :

 кН.


К оглавлению раздела Лаборотоные по сопромату