Курс инженерной графики и начертательной геометрии технического университета

Сопромат
Расчет валов
Построить эпюры
Задачи сопромата
Начертательная геометрия
ЕСКД
Сопряжение
Примеры
Черчение
Оформление чертежей
Выполнение чертежей
Практикум
Инженерная графика
Лекции
Карта сайта
На главную

Лабораторные работы и расчеты по сопромату

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис.1.1.2, а. Принять a = 0,4 м; площадь поперечного сечения бруса на участках III и IV А = 20 см2; сосредоточенная сила F = 0,5 кН, собственный вес = 0,0078 кг/см3 = 76,44 кН/м3.

 Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем брус с прямолинейной осью на четыре участка. Проводим сечение I – I (рис. 1.1.2, а) и отбрасываем верхнюю часть бруса, заменяя действие отброшенной части нормальной силой N1 (рис. 1.1.2, б). Так как сечение I –I может быть проведено в любом месте участка I, то длина оставшейся части участка будет переменной величиной, и поэтому обозначим ее через x (рис. 1.1.2, б), причем . Запишем уравнение равновесия, проектируя силы, действующие на оставшуюся часть бруса, на направление оси бруса: 


 откуда

Рис. 1.1.2

 Через  обозначен собственный вес оставшейся части бруса первого участка, в пределах которого площадь поперечного сечения равна 2А, а длина оставшейся части обозначена через x. Подставим численные значения в полученную формулу:

.

  Записанное выражение показывает, что эпюра нормальных сил в пределах первого участка представляет собой наклонную прямую линию. Для построения этой прямой определим значение нормальной силы N1 в начале первого участка (x = 0): N1(x = 0) = 500 Н и в конце первого участка (x = a= = 0,5 м): N1 (х = 0,5 м) =

  Полученные значения откладываем в масштабе в соответствующих точках эпюры нормальных сил (рис. 1.1.2, е). Найденные точки соединяем прямой линией, затем штрихуем первый участок эпюры прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса.

 Проводим сечение II – II и повторяем порядок расчета, описанный выше для сечения I – I. Переменная величина х участка II – II будет изменяться в пределах . Составим уравнение равновесия (рис. 1.1.2, в)

  откуда

где – собственный вес части бруса, расположенного ниже сечения II – II. Окончательно имеем

 Определяем значение нормальной силы N2 в начале второго участка (х= 0,5 м):  и в конце этого же участка (х = хmax = 1 м):

 Полученные значения N2 откладываем в масштабе в начале и в конце второго участка (рис. 1.1.2, е).

 Проводим сечение III – III и для оставшейся части бруса составляем уравнение равновесия (рис. 1.1.2, г)

откуда  где  – собственный вес оставшейся части бруса третьего участка; – собственный вес первого и второго участков.

 Тогда для участка

где нормальная сила N3 в начале третьего участка будет N3(х=0) = –194,2 Н; а в конце третьего участка получаем N3 (х = a = 0,5 м) = –117,8 Н. Найденные значения N3 переносим на эпюру нормальных сил.

 И наконец, рассматривая равновесие оставшейся части бруса, после проведения сечения IV – IV получаем (рис. 1.1.2, д)

откуда  где = 305,76 Н – собственный вес участков I – I и II – II, 152,88х – собственный вес третьего и оставшейся части четвертого участков.

 В этом случае имеем

т.е. в начале четвертого участка N4 (х = 0,5 м) = 382,2 Н, а в конце этого же участка N4 (х = 1 м) = 458,64 Н. Вычисленные значения N4 откладываем в масштабе на эпюре нормальных сил (рис. 1.1.2, е).

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил в балках

 Для оценки прочности балки на изгиб нужно определить наибольшую величину изгибающего момента МХ и положение сечения, в котором этот момент возникает. Точно так же надо знать и наибольшую поперечную силу.

А чтобы выполнить полный анализ деформированного состояния изгибаемой балки, необходимо знать законы изменения этих усилий по длине балки. С этой целью строятся эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, то есть графики функций MX и QY по всей длине балки. Построение этих эпюр выполняется с помощью метода сечений и производится в следующем порядке. В зависимости от вида внешней нагрузки, действующей на балку, балку разбивают на расчётные участки. Для каждого расчётного участка балки методом сечений составляются аналитические выражения для изгибающих моментов MX и поперечных сил QY и по этим выражениям строятся графики функций, то есть эпюры MX и QY. Построение этих эпюр рассмотрим ниже на конкретном примере.

 

Определение напряжений при изгибе

 При рассмотрении темы «Зависимости между внутренними силами и напряжениями» в первой главе курса «Сопротивление материалов» получены следующие формулы:

 

 Из этих формул видно, что изгибающему моменту сопутствуют нормальные напряжения, а поперечной силе – касательные напряжения 

 Для случая чистого изгиба, то есть для изгиба, когда в поперечном сечении балки действует только изгибающий момент, а поперечная сила отсутствует, выведена следующая формула для нормальных напряжений:  

 В формулу входят следующие величины: - изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении балки, - момент инерции сечения балки относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения (она называется нейтральной осью), y – расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна балки.

 Эта же формула нормальных напряжений используется и при поперечном изгибе, пренебрегая влиянием сдвигов на величину нормального напряжения.

 Так как отношение  для конкретного сечения конкретной балки есть величина постоянная, то величина нормального напряжения зависит от расстояния от продольной оси балки z до рассматриваемого волокна (или от нейтральной оси х сечения до рассматриваемой точки). Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения наиболее удалённых от нейтральной оси балки, то есть, когда

 Следовательно, получаем: 

 Примем  Эта величина называется моментом сопротивления сечения относительно нейтральной оси х, то есть, получаем:  

 При поперечном изгибе, в отличие от чистого изгиба в поперечном сечении балки наряду с изгибающим моментом возникает поперечная сила, вызывающая касательные напряжения в сечении балки. Эти касательные напряжения вычисляются по формуле Журавского Д.И.

где  – статический момент части сечения относительно нейтральной оси х, мысленно отсечённой от сечения, определяемый по формуле

 

- ширина сечения в той точке, в которой определяются касательные напряжения (точка К), - площадь отсечённой части сечения, - расстояние от оси х до центра тяжести отсечённой части сечения.

 Принято, что касательные напряжения  равномерно распределены по ширине сечения. Эпюра распределения касательных напряжений по высоте балки. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках сечения балки, расположенных на нейтральной оси сечения (ось х). 


К оглавлению раздела Лаборотоные по сопромату