Курс инженерной графики и начертательной геометрии технического университета

Сопромат
Расчет валов
Построить эпюры
Задачи сопромата
Начертательная геометрия
ЕСКД
Сопряжение
Примеры
Черчение
Оформление чертежей
Выполнение чертежей
Практикум
Инженерная графика
Лекции
Карта сайта
На главную

Лабораторные работы и расчеты по сопромату

Определение перемещений при помощи интеграла Мора

 Формула для определения перемещений, называемая интегралом Мора, имеет вид

  (4.6.1)

 Для вычисления линейного перемещения в произвольной точке балки с помощью формулы (4.6.1) необходимо выполнить последовательно следующие операции:

составить уравнения изгибающих моментов М от заданной нагрузки для каждого участка балки;

к рассматриваемой балке приложить силу, равную единице, в той точке, где определяется перемещение. Единичная сила прикладывается по предполагаемому направлению этого перемещения;

составить уравнения изгибающих моментов от единичной силы для каждого участка балки;

вычислить сумму интегралов (4.6.1) от произведения обоих моментов М и, деленного на жесткость поперечного сечения балки (EI).

 Для вычисления угла поворота поперечного сечения к рассматриваемой балке следует приложить единичный сосредоточенный момент, а затем составлять уравнения изгибающих моментов.

 По способу (правилу) Верещагина операция интегрирования (4.6.1) заменяется перемножением площади первой эпюры М на ординату второй эпюры  под центром тяжести первой.

  У к а з а н и я

 1. Произведение площади одной эпюры на ординату другой считается положительным, если площадь и ордината расположены по одну сторону от оси балки.

 2. Если в пределах рассматриваемого участка обе эпюры (М и) линейны, то безразлично площадь какой эпюры брать, а на какой эпюре – ординату.

  3. Если одна из эпюр (М) криволинейна, а вторая – ломаная, следует разбить вторую эпюру () на отдельные участки, в пределах которых она линейна.

 4. Если обе эпюры ломаные и границы участков у них не совпадают, то надо разбить обе эти эпюры на одинаковое число линейных участков, чтобы в пределах этих полученных участков обе эпюры были линейные и границы участков совпадали.

  5. Для перемножения двух трапециевидных эпюр (рис. 4.6.1) удобно использовать формулу

  (4.6.2)

 6. На рис. 4.6.2 приведены значения площадей некоторых нелинейных эпюр и координаты их центров тяжести. Этими данными необходимо пользоваться, если балка загружена равномерно распределенной по длине нагрузкой или треугольной распределенной нагрузкой.

 7. Если значение перемещения  получилось со знаком минус, то это указывает, что реальное перемещение рассматриваемой точки противоположно выбранному направлению единичной силы.

 Эпюру изгибающих моментов М от заданной нагрузки обычно называют грузовой, а эпюру – единичной.

 Задача 1.1.7. Проверить прочность стального стержня, изображенного на рис. 1.1.7, а. Материал – сталь с Ry = 2450 кг/см2 и объемным весом = 0,00785 кг/см3, F = 10 т, = 1.

 Ответ: = 1429 кг/см2 < Ry = 2450 кг/см2 (см. рис. 1.1.7, в), следовательно, условие прочности (1.8) выполняется.

 Задача 1.1.8. Построить эпюру нормальных сил для стержня замоноличенного в массив (рис. 1.1.8, а), предполагая, что интенсивность сил трения постоянна по длине a. Собственным весом стержня пренебречь.

 Ответ: эпюра нормальных сил показана на рис. 1.1.8, б.

 Задача 1.1.9. Найти закон изменения площадей поперечного сечения бруса равного сопротивления, испытывающего растяжение под действием силы и собственного веса.

 Решение. В каждом сечении бруса равного сопротивления нормальные напряжения должны быть равны постоянной величине (). Запишем условие равновесия элемента длиной dx (рис.1.1.9):

или

 Имеем dG – собственный вес элемента бруса длиной dx:

 тогда  или

 Интегрируя последнее выражение, находим

где С – произвольная постоянная интегрирования, которая находится из граничных условий. Окончательно запишем

 Постоянную интегрирования находим из условия, что при х = 0 имеем А(х) = А0, т.е. получаем . Таким образом, закон изменения площади поперечного сечения А(х) получает вид

,

т.е. в брусе равного сопротивления площади поперечных сечений изменяются по логарифмическому закону.


К оглавлению раздела Лаборотоные по сопромату