.
Теоретическая механика Определение реакций опор Расчет гибких нитей Пример расчета провода линии электропередачи Расчет деревянной П - образной опоры Расчет одностоечной опоры на прочность и устойчивость

Теоретическая механика

Основные понятия кинематики.

Кинематика точки

Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.

Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).

Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скоростей и ускорений (без вывода).

Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.

Основные кинематические параметры

Траектория

Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией.

Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f(x).

Пройденный путь

Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение — S, единицы измерения — метры.

Уравнение движения точки

Уравнение, определяющее положение движущейся точки в зависимости от времени, называется уравнением движения.

Рис.

Положение точки в каждый момент времени можно определить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматриваемой как начало отсчета (рис. 9.1). Такой способ задания движения называется естественным.

Таким образом, уравнение движения можно представить в виде S= f(t). Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени (рис. 9.2). Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

{

x = f1 (t);

y = f2 (t).

В случае пространственного движения добавляется и третья координата

z = f3 (t).

Такой способ задания движения называют координатным.

Рис.

Скорость движения

Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.

Скорость — вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону направления движения (рис. 9.3).

Рис.

Если точка за равные промежутки времени проходит равные расстояния, то движение называют равномерным.

Средняя скорость на пути AS определяется как

где ΔS — пройденный путь за время Δt;

Δt — промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным.

В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v=f(t).

При рассмотрении малых промежутков времени (At → 0) средняя скорость становится равной истинной скорости движения в данный момент. Поэтому скорость в данный момент определяют как производную пути по времени:

.

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеряют в км/ч, 1км/ч = 1000/3600 = 0,278 м/с.

Ускорение точки

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки М1 в точку М2 меняется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

 (рис 9.4).

Рис.

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный момент:

.

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярно составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 9.5).

Нормальное ускорение an характеризует изменение скорости по направлению и определяется как

,

где r – радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение at характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению век-гора скорости.

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

Значение полного ускорения определяется как  (рис. 9.6).

Рис.

Рис.


Контрольные вопросы и задания

1. Запишите в общем виде закон движения в естественной и координатной форме.

2.Что называют траекторией движения?

3. Как определяется скорость движения точки при естественном
способе задания движения?

4.Запишите формулы для определения касательного, нормального и полного ускорений.

5. Что характеризует касательное ускорение и как оно направлено по отношению к вектору скорости?

6. Что характеризует и как направлено нормальное ускорение?


Тема 1.8. Кинематика точки

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различных видах движения точки.

Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равнопеременного движений точки.

Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.

Анализ видов и

кинетических параметров движений

Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью:

v = const.

Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1а)

Полное ускорение движения точки равно нулю: а = 0.

При криволинейном равномерном движении (рис. 10.1б).

Рис.

Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = ап.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.

Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой: S = So+vt, где Sо — путь, пройденный до начала отсчета.

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным касательным ускорением:

at — const.

Для прямолинейного равнопеременного движения

 a = at = const.

Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 10.2):

an ≠ 0; at = const ≠ 0.

Рис.

Учитывая, что ; аt = const и сделав ряд преобразований:

 

получим значение скорости при равнопеременном движении

 

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

где v0 — начальная скорость движения;

So — путь, пройденный до начала отсчета;

at — постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнение неравномерного движения в общем виде представляет собой уравнение третьей S = f(t3) и выше степени.


Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулу ускорения при прямолинейном движении.

2.Запишите формулу ускорения (полного) при криволинейном
движении.

3. Тело скатывается по желобу (рис. 10.7). Какие параметры движения меняются при переходе через точку В и почему?

Рис.

Ответы:

an.

at.

v.

Параметры движения не меняются.

5. По заданному уравнению движения точки S = 22t + 4t2 постройте гра-

фики скорости и касательного ускорения.

6. По графику скоростей точки определите путь, пройденный за время движения (рис. 10.8).

7. Точка движется по дуге. Охарактеризуйте движение точки (рис. 10.9).

Рис.

Рис.


Теоретическая механика примеры выполнения заданий